堆在逻辑上一棵完全二叉树，所以可以通过数组进行数据存储，而其余的树大多采用链式结构进行数据存储
堆分类：
大顶堆：大顶堆就是无论在任何一棵(子)树中，父节点都是最大的
小顶堆：小顶堆就是无论在任何一棵(子)树中，父节点都是最小的
堆的两种操作：
上浮：一般用于向堆中添加新元素后的堆平衡
下沉：一般用于取出堆顶并将堆尾换至堆顶后的堆平衡
堆排序：利用大顶堆和小顶堆的特性，不断取出堆顶，取出的元素就是堆中元素的最值，然后再使堆平衡
下面的文章以大顶堆为例，拿Java实现堆的各种操作。
1.MaxHeap
大顶堆：对于任一个(子)堆，堆顶最大
// 这里Comparable保证所有结点可比，是成堆基础
public class MaxHeap >{
// 完全二叉树，排列整齐(相当于一层一层放入)，可以用数组存储
private ArrayList data;
public MaxHeap(int capcity){
data = new ArrayList<>(capcity);
}
public MaxHeap(){
data = new ArrayList<>();
}
// 堆是否为空
public boolean isEmpty(){
return data.isEmpty();
}
// 堆中元素个数
public int size(){
return this.data.size();
}
//......
}
复制代码
2.操作一：获取父/子节点
parent()
// 返回idx位置元素的父节点
// 注：这里从0放起(parent = (i - 1)/2 )，若是从1放起(parent = i / 2)
private int parent(int idx){
if (idx == 0) {
throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent");
}
return (idx - 1) / 2;
}
复制代码
leftChild() / rightChild()
// 返回idx位置元素的孩子节点
// 注：这里从0放起
private int leftChild(int idx){
// 若从1放起，leftChild = idx * 2
return idx * 2 + 1;
}
private int rightChild(int idx){
// 若从1放起，rightChild= idx * 2 + 1
return idx * 2 + 2;
}
复制代码
2.操作二：添加元素
add()
将元素放到堆尾，即数组最后一个元素
加入到最后了，上浮
public void add(E e){
data.add(e);
// 传入需要上浮的索引
siftUp(data.size() - 1);
}
复制代码
siftUp()
上浮：子节点与(小于自己的)父节点交换
Time：O(logn)，获取parent是不断二分(/2) 的
private void siftUp(int k){
// 只要是父节点(data[parent]) 比 子节点(data[k])小，就进行交换
while (k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0) {
// 1.交换数组中位置
// 注：这里是
Collections.swap(k, parent(k));
// 2.更新子节点，进行下一轮上浮
// 注：也可以data.set进行三步走
k = parent(k);
}
}
复制代码
3.操作三：取出堆顶(最大元素)
extractMax()
取出堆顶
拿到堆顶元素
删除堆顶
将堆顶(0)与堆尾(size-1)交换，因为要产生新堆顶
删除堆尾
堆顶下沉
public E extractMax(){
// 1.获取堆顶元素
E ret = findMax() ;
// 2.1 将堆顶换到堆尾
Collections.swap(0, data.size() - 1);
// 2.2 删除堆尾
data.remove(data.size() - 1);
// 2.3 下沉堆顶
siftDown(0):
return ret;
}
复制代码
findMax()
获取堆中最大元素
public E findMax(){
if (data.size() == 0) {
throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty");
}
// 堆顶最大 = 数组第一个元素(0)
return data.get(0);
}
复制代码
siftDown()
堆顶下沉：与左右子节点较大值(且大于自己的)节点进行交换
Time：O(logn)，获取Child是不断二分(/2) 的
private void siftDown(int k){
// 1.判断当前节点是否有子节点。下沉到叶节点，就没有儿子了，就不用下沉了
// 注：因为leftChild索引肯定比rightChild小，所以只要有leftChild就有子节点
while (leftChild(k) < data.size()) {
// 2.拿到leftChild与rightChild的大值
int j = leftChild(k);
if (j + 1 < data.size() && data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0) {
j = rightChild(k);
}
// 3.判断子节较大值是否大于自己(父节点)
if (data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0) {
break;
}
// 4.若大于，交换数组中两节点位置
Collections.swap(k, j);
// 更新父节点，进行下一轮下沉
k = j;
}
}
复制代码
4.操作四：数组构造堆
思路一：将已知数组一个一个加入到堆中 ====> Time = O(n*logn)
思路二：从第倒数一个非叶子节点开始下沉 ====> Time = O(n)
// 构造函数中传入要构造成堆的数组
public MaxHeap(E[] arr){
// 注：这里数组不能直接作为ArrayList参数，要先包装成List
data = new ArrayList<>(Arrays.asList(arr));
// 确定倒数第一个非叶子结点：最后一个叶子(length - 1)的父节点 ((i - 1)/ 2)
for (int i = parent(arr.length - 1); i >= 0; i--) {
// 逐个下沉
siftDown(i);
}
}
复制代码
=> 验证最大堆
在看堆排序前，我们先来验证我们写的代码是否正确的。思路是，向堆中添加一百万个随机数，然后依次取顶取出放入到一个数组中，最后验证看是否从大到小排列的：
public class Test{
public static void main(String[] args){
int n = 10000000;
MaxHeap heap = new MaxHeap<>();
Random random = new Random();
// 1.向堆中添加一百万个随机数
for (int i = 0; i < n; i++)
heap.add(random.nextInt(Integer.MAX_VALUE));
// 2.不断从最大堆中取出堆顶 --> 从大到小
int[] arr = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
arr[i] = heap.extractMax();
}
// 3.验证取出的元素是否按照从大到小排列
for (int i = 0; i < n - 1; i++)
if (arr[i] < arr[i + 1])
throw new IllegalArgumentException("Error");
System.out.println("Test MaxHeap Success!");
}
}
复制代码
这里其实也可以直接创建出一个数组，然后构造成最大堆，再不断取顶。相信经过上面的示例，你已经看到了堆有进行排序的能力。
==> 堆排序
堆排序原理：简而言之，就是利用大顶堆和小顶堆的特性，不断取出堆顶(堆中元素的最值)，然后再使堆平衡。
构建最大堆：借鉴上面构建堆的思路，从最后一个不是叶子节点的节点开始下沉
取出堆顶：不是真取出，而是通过交换堆顶(arr[0])到堆尾(arr[i])实现出堆顶 ==> 大顶堆的排序结果是从小到大
新堆再平衡：由于上一步已经将堆尾换到了堆首，所以直接再下沉就行
注意：这里采取的是数组从0开始放，即 idx 位置的 parent = idx / 2，leftChild = idx * 2，rightChild = idx * 2 + 1
public class HeapSort{
public void sort(int[] arr){
int length = arr.length;
// 1.构建最大堆：从最后一个不是叶子节点的节点开始下沉
// i=(length-1)/2，表示获取最后一个叶子节点的父亲，即最后一个不是叶子节点的节点
for (int i = (length - 1) / 2; i >= 0; i--) {
siftDown(arr,length, i);
}
for (int i = length - 1; i > 0; i--) {
// 2.取出堆顶：通过交换堆顶(arr[0])到堆尾(arr[i])，实现出堆顶
swap(arr, 0, i);
// 3.新堆再平衡：上一步已经将堆尾换到了堆首，所以直接再下沉就行
// 注：可以看到这里新堆的长度变成了i(比之前少了1)
siftDown(arr, i, 0);
}
}
private void siftDown(int[] arr, int length, int idx){
// 下沉到叶节点，就没有儿子了，就不用下沉了
// 这里用的leftChild(2*idx)，因为如果左儿子都超过length了，右儿子也一定超过了
while (2 * idx < length) {
// 判断左儿子和右儿子哪个大
int j = 2 * idx;
if (j + 1 < length && arr[j+1] > arr[j])
j++; // 如果右儿子大，就j++
// 判断父亲是否比儿子大
if (arr[idx] >= arr[j])
break;
// 父亲小于儿子，那么就交换父子
swap(arr, idx, j);
// 更新父亲idx，继续去下一棵子树判断下沉
idx = j;
}
}
private void swap(int[] arr, int idx1, int idx2){
int t = arr[idx1];
arr[idx1] = arr[idx2];
arr[idx2] = t;
}
}
复制代码
另外，如果对其他排序感兴趣的同学，可以参考这篇文章 图解十大排序算法及Java实现(详细)...
5.操作五：取出堆顶，再加入一个元素
思路一：取出堆顶(extractMax)，然后再加入一元素(add) ====> 2 * O(logn)
思路二：将堆顶直接修改，然后下沉 ====> O(logn)
replace()
public E replace(E e){
// 1.获取堆顶元素
E ret = findMax();
// 2.修改堆顶，即数组0位置
data.set(0, e);
// 3.下沉
siftDown(0);
return ret;
}
复制代码
完整代码
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collections;
public class MaxHeap >{
private ArrayList data;
public MaxHeap(int capcity){
data = new ArrayList<>(capcity);
}
public MaxHeap(){
data = new ArrayList<>();
}
public MaxHeap(E[] arr){
data = new ArrayList<>(Arrays.asList(arr));
for (int i = parent(arr.length - 1); i >= 0; i--) {
siftUp(i);
}
}
// 堆是否为空
public boolean isEmpty(){
return data.isEmpty();
}
// 堆中元素个数
public int size(){
return this.data.size();
}
// 返回idx位置元素的父节点
// 注：这里从0放起(parent = (i - 1)/2 )，若是从1放起(parent = i / 2)
private int parent(int idx){
if (idx == 0) {
throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent");
}
return (idx - 1) / 2;
}
// 返回idx位置元素的孩子节点
// 注：这里从0放起
private int leftChild(int idx){
// 若从1放起，leftChild = idx * 2
return idx * 2 + 1;
}
private int rightChild(int idx){
// 若从1放起，leftChild = idx * 2
return idx * 2 + 2;
}
// 添加元素
public void add(E e){
data.add(e);
siftUp(data.size() - 1);
}
private void siftUp(int k){
while (k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0) {
Collections.swap(data, k, parent(k));
k = parent(k);
}
}
// 获取堆中最大元素
public E findMax(){
if (data.size() == 0) {
throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty");
}
// 堆顶最大，
return data.get(0);
}
public E extractMax(){
E ret = findMax() ;
Collections.swap(data, 0, data.size() - 1);
data.remove(data.size() - 1);
siftDown(0);
return ret;
}
private void siftDown(int k){
while (leftChild(k) < data.size()) {
int j = leftChild(k);
if (j + 1 < data.size() && data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0) {
j = rightChild(k);
}
if (data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0) {
break;
}
Collections.swap(data, k, j);
k = j;
}
}
public E replace(E e){
E ret = findMax();
data.set(0, e);
siftDown(0);
return ret;
}
}
复制代码
最后，对堆在Java中的应用感兴趣的同学看看 PriorityQueue 的源码，它就是通过小顶堆实现的，这里放个传送门 【Java集合源码】PriorityQueue源码分析。
)
