现代的数学体系——包括一般的高中和大学教学，一般都将“对数函数”定义为“指数函数”的反函数。不过，鲜为人知的是，在数学史上，“对数”这个概念反而比“指数”出现的更早，而且他们都不是靠对方的“反函数”来定义的。

所以，让我们来讲一个故事吧。

让我们回到16世纪到17世纪之交。那是个天文学蓬勃发展却没有计算器的时代，因此天文学家和数学家一直在寻找高效计算乘法的方法，比如利用当时已经很熟悉的三角函数：

注意，等式左边是两个数的乘法，右边就只有三个加法和一个简单的除以2。因此，如果我们想做两个数

的乘法，我们就可以这样：

，得两个角度

；

；

；

和

的三角倒数表。

不过这样终究还是麻烦了些，有什么更好的“化乘除为加减”的函数呢？

1544年，一个叫斯蒂菲尔的德国数学家在其著作《整数的算术》中画了一张“神奇”的表格：

这个表格可以向两个方向无限延伸，上面是等比数列，下面是等差数列。斯蒂菲尔称上面一行为“原数”，下面一行为“代理人”，它神奇在哪里呢？
斯蒂菲尔说：原数的乘除法一定可以转换成代理人的加减法！
例如，想算16*64，只要先查到他们的代理人4和6，然后相加得10，再查得10的原数1024就是乘法结果。或者想计算256/1024，只要找到代理人8和10，相减得-2，其原数0.25就是除法结果。
（这些東西在我们看来自然平平无奇，只是一群2的幂而已，但我们谈论的可是16世纪的事）

不过，当时完全没有分数幂以至实数幂的概念，因此也就只能浅尝辄止，当成是对表里这有限几个数的小把戏而已。但是，这种“等比数列”与“等差数列”冥冥之中的关系，激励着数学家探索更好的“化乘除为加减”的方法。

终于，一位值得被记住的数学家——苏格兰的约翰·纳皮尔（John Napier，1550~1617）找到了这样一个工具，发表在他的《奇妙的对数定律说明书》（1614）中。我们先来看这样一个模型：

如图，

是一条线段，

是一条射线，

和

分布是自

和

出发沿两条线移动的动点。其中，

的移动速度恒定，不妨设为

；

在从

出发时的速度也为

，但其瞬时速度总与剩余线段

的长成正比，也就是

。设

，则

与

之间就有某种函数关系。

这个模型有什么性质呢？
它的性质在于，由于

缩短的速度（也就是

的移动速度）总是与

的长度成正比，因此经过固定的时间

后，

的长度必然缩减一个固定的倍数！

上有一点

，

，

和

同时从

和

出发，则有

；且经过一段时间的运动之后必然还保持

，因此也必然保持两点速度的比例关系；进而，大小模型之间保持恒定的

倍的等比相似关系。

那么，我们假设现在AC经过一定时间后被缩减了

倍，那么就可以看成是先缩减了

倍，再缩减了

倍；因此，缩减

倍所需的时间

一定等于缩减

倍与缩减

倍的时间之和，也就是

。然后，由于

点一直在匀速运动，那么时间就可以通过

点运动的距离

体现出来。因此，我们有

上面我们提到的

和

之间就必然有函数关系

这里的

和

就相当于斯蒂菲尔的“原数”和“代理人”。不过纳皮尔给它们起了一个新的名字，由希腊语λογος（表示思想的文字或符号；比率；计算）和άριθμος（数）合成了一个新词λογάριθμος，直译为“比数”，放到英文里就是现在用的logarithm。这就是第一个对数，也称“纳皮尔对数”，可以记作

，其中

与

的函数关系可以用打表或者插值计算出来。

只要我们把

取成一个便于计算的数，比如纳皮尔本人取的

（目的是避免小数计算），再打表编制一份对数表，就可以高效地计算数字的乘法了。纳皮尔很快便不幸去世了，他的好友布里格斯（Henry Briggs）和子孙等人接过了这份工作。布里格斯于1617年制成了1-1000的十四位常用对数表，也是世界上第一张对数表。最终，1628年，荷兰人德斯克（E.Decker）和出版商阿德里安·弗拉格（Adrian Vlacg）出版了《对数算数》，囊括了1-100000的十位对数表。

当时的天文学家和数学家都大为感谢对数这一伟大发明。法国著名天文学家、数学家拉普拉斯就在他的天文学巨著《宇宙体系》中盛赞对数：“……可以把几个月所做的计算减少到几天完成，由于缩短了计算工作的时间，我们可以说这种方法使天文学家的寿命被延长了一倍，而且使他们少犯错误，以及因为长时间计算而造成的不可避免的烦闷。这种完全由学识而来的发明是人类精神上的宝贵成就；在工艺上人们依赖自然界的物质和能量才能做出发明，而计算技术却只靠人们自己的创作。”

题外话，清初一位波兰传教士穆尼阁来到中国，向中国数学家薛凤祚等人教授了这种数学知识，他们在1653年合著了《比例对数表》，把logarithm翻译为“比例数”或“假数”，对应的原来的数则称作“真数”，并给出了中国第一份对数表。“对数表”最初的含义是“假数与真数一一对应的表”，不过后来却渐渐成为log这一运算的名称了。

不过，这与对数的导数又有什么关系呢？

让我们回到那个模型，我们有

我们又知道

是

缩小的速度，

是

增大的速度，那么就有

也就是

你看，倒数不就出来了吗。

所以，“对数的导数是自变量的倒数”只不过是“用对数来化乘法为加法”的必然要求而已，目的就是为了满足上面提到的那个“等比相似性”。

至于为什么这有个负号，那是因为纳皮尔对数实际上相当于以1/e为底的对数，与我们今天对数的关系是

。如果想得到我们今天的自然对数

，我们得计算

，自然就有

最后，我们不妨用现代数学的角度再推导一下这个结论：

我们想要一个函数，能够（在函数表的辅助下）完成化乘除为加减的运算。我们当然希望这个函数足够好，因此我们假设有函数

，其中

充分光滑，满足

。

令

，我们知道有

。

因为函数性质充分好（也因为这个问题是想讨论

的导数），我们考虑这样的函数形式：

这样

。（注意，这是在我们假定了

充分光滑才有的式子）

我们想要有

对任意

成立，因此计算

其中进行了一次第二类积分换元

。

，这样第二项就恰好为

。那么就要求

对任意

都成立。我们当然不希望

恒为零，因此设有

使得

。于是，

，那么就会有

其中

为一个常数。而且我们可以发现，只要要求

充分光滑（好像这个“充分”只需要

），这就是解的唯一形式。

不难验证其满足要求，也就是说，我们证明了，充分光滑的函数

满足

，等价于其导数是个倒数。

参考文献：

不可思议的e/陈仁政著. 北京：科学出版社，2005（好玩的数学/张景中主编