形态学来自于生物学，研究动植物的形态和结构。运用在图像中可提取如边界、骨架和凸壳。初学形态学都是在二值化的图像上研究，之后可以扩展到灰度图像。

膨胀和腐蚀

数学形态学与集合论分不开，因为形态学中的操作是基于两个集合的，一个是待处理的像素集合，一个我们叫做结构元SE。SE的形状有多种，原点也有多种，但一般是重心，原点在腐蚀erode和膨胀dilate中表示当前要处理的像素点。像卷积一样，结构元会在图像上遍历，所以我们要对集合A填充，使得结构元的原点在A的边界时，结构元的整体都不会落在图像之外。到现在我们已经知道了形态学基本操作（腐蚀和膨胀）是基本流程和卷积类似，就是利用一个核对像素遍历。卷积是计算卷积核中对应像素乘积之和。腐蚀和膨胀则是基于两个集合的关系。

腐蚀运算的当前像素的结果是两个集合做逻辑与运算，如果SE所占区域和A的一部分是完全重合的，即SE完全属于集合A，那么这一点就取集合A内的值。腐蚀其实是击中击不中变换的简化。击中击不中变换可用于检测图像中目标形状的原点位置，使用的前提条件是图像中的物体之间是断开的，即每个物体被至少一个像素宽的背景像素所环绕。对A和A的补集分别利用D和W-D进行腐蚀，腐蚀结果的交集就是目标的原点。D就是目标，W-D代表与背景相联系的集合。

膨胀是两个集合做或运算，只要部分重合，就把当前像素设置为集合A中的值。膨胀的最简单应用之一是桥接裂缝。而膨胀在连接处细于结构元时会断开。膨胀的一个应用是条件膨胀，可用于孔洞填充，如图像中有一些球体，但是球体中有反光，利用孔洞填充可以消除反光。具体方法是在边界内找到初始点，利用结果元进行迭代，一次迭代是膨胀后与A的补集求交集，交集的目的是寻找背景点。当膨胀之后与A取交集，这时候取的是前景点，可以用于连通分量的提取。

注意我们描述待处理图像A和结构元都是把他们当做集合，膨胀和腐蚀的具体运算也是两个集合之间的关系进行运算，得到的结果也是当做一个集合进行描述。结果的集合是结构元在图中遍历中的所有结果的集合，具体遍历的方式在腐蚀中表现为平移z，在膨胀中表现为结构元的反射（中心对称）的z平移。

还需要注意的是对一幅图（先考虑二值图）中哪些是集合A，我的理解是这个要具体问题具体分析，当结构元元素是白色时，处理的就是图像中的白色区域。

开运算和闭运算

开操作，先腐蚀后膨胀。一个几何解释是开运算是结构元B在A的内侧滚动时所能达覆盖的最大面积。从公式可以看出开运算和腐蚀都是平移后进行条件判断，判断条件是平移之后完全属于集合A，但是结果的操作对象取的不再是结构元的原点，而是平移之后的结构元整体。因为结构体是在A内部平移遍历的，且取的是结构元所能覆盖的面积的最大值，这使得开操作有一个性质：开操作之后的集合是A的子集。开操作同时会断开一些窄的连接和细的突出，可用于消除椒盐噪声。

闭操作和开操作的彼此对偶的。

结构元B对A的闭操作可以看作B的反射对A的补集的开操作，得到的结果再取补集。性质同样对偶，A是闭操作结果的子集。

形态学还可以用于获得集合A的凸壳C(A)。如果A内任意两个点的连线都在A的内部，那么A就是凸集（凸形）。凸壳是包含于A的最小凸集。获得凸集的方法依然是迭代，使用多个结构体对A做击中击不中变换，执行与A的并集，得到的结果再取并集。

根据击中击不中变换，还可以达到细化和粗化。

可以用连续腐蚀和开操作得到骨架。

细化和骨架算法会保留一些寄生分量，因而需要用后处理来消除这些寄生分量。

形态学重建，设计两幅图像和结构元，一幅图像用于标记变换的起始点，一幅图像是模板，用于约束该变换。在形态学重建中，核心是测地膨胀和测地腐蚀。