声明：文中的图来自于可汗学院公开课，若有侵权，联系我删除。

均值：一组数相加后除以这一组数的个数。

中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数，如果是偶数个，两个相加后除以2，得到中位数。

众数：这一组数中出现多的一个数字。

极差：指一组数中最大数和最小数的差值，它描述这些数字分开的有多远, 差值越小，数据分布得越紧密。

中程数：指数据集中最大数和最小数的平均值，是考虑集中趋势的又一种方式，是考虑中间值的有一种方法。

象形统计图的目的主要是为了使统计数据更为直观、通俗易懂。如下图一滴血表示8个人，来统计各种血型的人数。

条形图（利用条形分类来表述数据的一种方式）。下图是五个人的期中、期末成绩，比较谁进步最大。由每个人的前后条形差值中可以得出结论。

线形图适合用来表示随时间变化的事物，展示变化趋势，如下图是股价随着每一个月的变化趋势。

但是要注意

观察线形图趋势，特别是相互比较的时候，要注意刻度，避免被误导，最好是在同一图中画出比较。如下图，不看刻度的话，还以为右图的变化趋势更大。

饼图非常适合用来标志各个部分所占的比例，即部分与整体的关系。例如下图的旅行社每个月份销售额，一眼能看出哪个月份是销售最高的。

茎叶图Stem-and-Leaf plot：将数组中的数按位数进行比较，数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。如下图是每个球员的得分。

盒须图（box and whiskers）：又称为箱形图、盒式图或箱线图，是一种用作显示一组数据分散情况资料的统计图。因型状如箱子而得名。

1.将数组中的数据升序排序

2.求出中位数（Xm），上四分位数（Q1），下四分位数（Q3）

3.画数轴，度量单位大小和数组的单位一致，起点比最小值稍小，长度比该数组的全距稍长

4.画一个矩形盒，两端边的位置分别对应数据批的上下四分位数（Q1和Q3）。在矩形盒内部中位数（Xm）位置画一条线段为中位线。 

如下图是箱线图的一个具体示例。

outlier--离群值：与其它数不一样的数，有此数时，中位数和众数比算术平均数更能体现该组数的集中趋势。 如下图100就是离群值。

sample(样本)，population（总体）

μ = population mean （总体均值）

X(上面带一条横线)= sample mean（样本均值）

总体方差：知道了集中趋势（平均值），但我们不知道数据是接近集中趋势还是远离集中趋势，所以可以用方差去衡量。如下图是总体方差的计算公式。

样本方差:如果按照总体方差计算的话，当选择的样本偏离总体均值是，样本方差会低估总体方差。如下图所示

故用下图，也就是分母换成(n-1),也称为总体方差的无偏估计

标准差：方差的平方根，平均离中趋势用标准差表示时单位一致。是对数离均值平均远近程度的一种衡量。

 

方差和期望的关系

随机变量:它并非传统意义上的变量，而更像是从随即过程映射到数值的函数。例如仍骰子的出现点数。

概率密度函数：

1离散随机变量中每个变量概率有值且有意义

2连续随机变量中某个具体变量概率值为0，而一个变量范围内的概率有值且有意义，概率密度是一个函数，用于计算连续变量某一范围空间内的概率。

离散分布：伯努力分布，二项分布，possion分布

1，伯努力分布

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
#执硬币
x_arr=np.array([0,1])
#x为1的概率
p=0.7
#0 1分布
#由PMF生成对应的概率  离散事件
pr_arr=stats.bernoulli.pmf(x_arr,p)
plt.plot(x_arr,pr_arr,marker='o',linestyle='None')
plt.vlines(x_arr,0,pr_arr)
plt.xlabel('Events')
plt.ylabel('Bernoulli distribution(p=0.7)')
plt.show()

2，二项分布

#二项分布  数量多时：像正态分布
n=100 #实验次数
p=0.5
x_arr=np.arange(0,n+1,1)
pr_arr=stats.binom.pmf(x_arr,n,p)
print(pr_arr)
plt.plot(x_arr,pr_arr,marker='o',linestyle='None')
plt.vlines(x_arr,0,pr_arr)
plt.xlabel('Events')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('Bernoulli distribution(n={},p={})'.format(n,p))
plt.show()

次数到达100次就像正态分布，可以看出连续情况下可得到正态分布。

期望：随机变量的期望值是总体的均值，但因是无穷，所以采取每个结果可能出现的概率作为权重后计算。

对于二项分布的期望，E(X)=np，其中n是试验次数，p是每次成功的概率。

推导E(X)=np:

3，poisson分布

假设知道期望值E(X)，即一个小时内通过多少辆车，先假设满足二项分布，E(X)=np，p=E(X)/n(n分钟数) 再求k分钟出现车的概率C(n,k)p^k(1-p)^(n-k).不断扩大n到无穷大则是泊松分布，其推导过程如下：

#poisson分布
#求某路口每小时发生k次交通事故的概率，已知每小时平均发生的次数为2
mu=2
k=10
p = 0.5
x_arr=np.arange(0,k+1,1)
pr_arr=stats.poisson.pmf(x_arr,mu)
print(pr_arr)
plt.plot(x_arr,pr_arr,marker='o',linestyle='None')
plt.vlines(x_arr,0,pr_arr)
plt.xlabel('Events')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('Bernoulli distribution(k={},p={})'.format(k,p))
plt.show()
#

4，高斯（正态分布）

mu=0#平均值
sigma=1#标准差
x_arr=np.arange(-5,5,0.1)
#概率分布函数
y_arr=stats.norm.pdf(x_arr,mu,sigma)
plt.plot(x_arr,y_arr)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Gaussion distribution(mu={},sigma={})'.format(mu,sigma))
plt.show()

正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68.268949%。

横轴区间（μ-1.96σ,μ+1.96σ）内的面积为95.449974%。

横轴区间（μ-2.58σ,μ+2.58σ）内的面积为99.730020%。

由于“小概率事件”和“假设检验”的基本思想 “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。由此可见X落在（μ-3σ,μ+3σ）以外的概率小于千分之三，在实际问题中常认为相应的事件是不会发生的，基本上可以把区间（μ-3σ,μ+3σ）看作是随机变量X实际可能的取值区间，这称之为正态分布的“3σ”原则。 

大数定理:如果样本量足够大，那么样本均值将趋近于期望值。