容斥原理---概念介绍

 

容斥原理是一种基本的计数工具。

假设我们有N个对象的集合A，设a1, a2,…, ar是这些对象可能有的性质的集合，设N(ai )是有性质ai的对象数目。一个对象可能有若干个所讨论的性质（或一个性质也没有）。设N(a’i )计数没有性质ai的对象数目。这时，我们有

N = N( ai ) + N( a’i).

因为一个对象可能有多个性质，所以计数既有性质ai又有性质aj的对象数目很有用。这一数目记为N(ai  aj). 既没有性质a 又没有性质a 的对象数目记为N(a’i  a’j)，有性质aj 但是没有性质ai的对象数目记为N(a’iaj )。

 

我们为N(a’1 a’2  a’3 )开发容斥原理，这是既没有性质a1又没有性质a2也没有性质a3的对象数目。这一原理的解释参见下面的韦恩图：

 

首先我们使A包容所有的对象（数目总共为N），然后，我们排除那些有性质a1的所有对象，有性质a2的所有对象，有性质a3的所有对象。因为某些对象可能有多个性质，所有我们有必要加回被过多排斥掉的对象，我们加回（包容）有两个性质的对象，这些对象对应于上图的粉红、黄色、绿色区域，这时我们又多加回了若干对象，即有三个性质的那些对象，这些对象对应于上图中深红色区域，这些对象必须被排除。 对这一推理的结果加以公式化，我们得到下面的公式：

N(a’1a’2 a’3) = N – N(a1) - N(a1)- N(a1)

              + N(a1 a2) +N(a1 a3) + N(a2 a3)

              -N(a1 a2 a3)

一般的，没有任意r个性质的对象数量都可以通过扩展上面公式得到。这一公式称为容斥原理（principleof inclusion and exclusion）。

 

定理：容斥原理

如果N是集合A中的对象的数量，集合A中没有性质a1,a2, …, ar 的对象数量由下式给出:

N(a’1a’2...a’r)= N – ΣiN(ai)

           +Σi != jN(ai aj)

           -Σi,j,k互不相同N(aiajak)

           +(-1)rN(a1a2…ar)

上式中，第一个和是对所有取自{1,2,..,r}的i求和，第二个和是对所有无序对{i,j}求和，其中i和j取自{1,2,..,r}，i!=j。第三个和是对于无序三元组{i ,j,k}求和，其中i ,j,k取自｛1，2，..r｝，i ,j,k互不相同。一般项是(-1)t乘以形如N(a1 ,a2 ,…,ar )的项的和，其中这种形式的和是对于所有无序t元组{i1 ,i2 ,…,it}求和，而i1 ,i2 ,…,it取自｛1，2，..，r｝，且i1 ,i2 ,…,it互不相同。

 

全部选自《应用组合数学(Applied Combinatorics)》原书第二版，Fred S.Roberts Barry Tesman著，冯速 译

原书第七章