相关与卷积、各种误差

相关

自相关

自相关函数就是信号 $x (t)$ 和它的时移信号 $x(t+τ)x(t+\tau )$ 的乘积平均值。它是时移变量 $τ\tau$ 的函数。
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“自相关”这种数据处理方法，可以发现隐藏在杂乱信号中的有用信息。这个能力是相当重要的，因为工程实际中的信号，不可避免地要受到各种干扰，严重的时候会完全淹没真正有用的数据。自相关能找出重复信息（被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频，它常用于时域信号的分析。

性质

偶函数

不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变；
当 $τ=0\tau=0$ 时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值；

复习：

均方值(方均值、平方的期望)： $E[x2]=∑xi2P(xi)E[x^2]=\sum_{}^{}{x_i^2 P(x_i)}$
均方根：工程中用于分析噪声， $XRMS=∑i=1NXi2NX_{RMS}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N{X_i^2}}{N}}$
方差： $δ2(x)=E[(xi−mx)2]=∑(xi−mx)2P(xi)\delta ^2\left( x \right) =E\left[ \left( x_i-m_x \right) ^2 \right] =\sum{\left( x_i-m_x \right) ^2P\left( x_i \right)}$
标准差(均方差)： $δ\delta$
协方差(covariance)：衡量两个变量的总体误差，方差是协方差的一种特殊情况，即两变量相同
$Cov⁡(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]=E[XY]−2E[Y]E[X]+E[X]E[Y]=E[XY]−E[X]E[Y]\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X, Y) &=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] \\ &=E[X Y]-2 E[Y] E[X]+E[X] E[Y] \\ &=E[X Y]-E[X] E[Y] \end{aligned}$
均方误差：MSE(mean-square-error),反映估计量与被估计量差异程度；实例：评估最小二乘估计的准确度、图像复原函数退化模型的最优估计。

卷积

公式

$y(t)=∫−∞∞x(p)h(t−p)dp=x(t)∗h(t)y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(p) h(t-p) d p=x(t) * h(t)$
$t$ 是使函数 $h (- p)$ 位移的量， $p$ 为积分变量
理解 : $x$ 为输入， $h$ 为响应因子， $y$ 为输出。