Nim游戏（初谈博弈）

 通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，
如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

*这游戏看上去有点复杂，先从简单情况开始研究吧。
如果轮到你的时候，只剩下一堆石子，
那么此时的必胜策略肯定是把这堆石子全部拿完一颗也不给对手剩，然后对手就输了。

*如果剩下两堆不相等的石子，必胜策略是通过取多的一堆的石子将两堆石子变得相等，
以后如果对手在某一堆里拿若干颗，你就可以在另一堆中拿同样多的颗数，直至胜利。
如果你面对的是两堆相等的石子，那么此时你是没有任何必胜策略的，
反而对手可以遵循上面的策略保证必胜。

*现在我们如何从两堆的取子策略扩展到任意堆数中呢？

*首先来回忆一下，每个正整数都有对应的一个二进制数，
于是，我们可以认为每一堆硬币数由2的幂数的子堆组成。
这样，含有57枚硬币大堆就能看成是分别由数量为2^5、2^4、2^3、2^0的各个子堆组成。

*现在考虑各大堆大小分别为N1，N2，……Nk的一般的Nim取子游戏。
将每一个数Ni表示为其二进制数（数的位数相等，不等时在前面补0）：

N1 = as…a1a0

N2 = bs…b1b0

……

Nk = ms…m1m0

如果每一种大小的子堆的个数都是偶数，我们就称Nim取子游戏是平衡的，

而对应位相加是偶数的称为平衡位，否则称为非平衡位。

因此，Nim取子游戏是平衡的，当且仅当：

as + bs + … + ms 是偶数

……
a1 + b1 + … + m1 是偶数

a0 + b0 + … + m0是偶数

于是，我们就能得出获胜策略：

游戏人I能够在非平衡取子游戏中取胜，而游戏人II能够在平衡的取子游戏中取胜。

*我们以一个两堆硬币的Nim取子游戏作为试验。设游戏开始时游戏处于非平衡状态。
这样，游戏人I就能通过一种取子方式使得他取子后留给游戏人II的是一个平衡状态下的游戏，
接着无论游戏人II如何取子，再留给游戏人I的一定是一个非平衡状态游戏，如此反复进行，
当游戏人II在最后一次平衡状态下取子后，游戏人I便能一次性取走所有的硬币而获胜。
而如果游戏开始时游戏牌平衡状态，那根据上述方式取子，最终游戏人II能获胜。

*下面应用此获胜策略来考虑 4堆的Nim取子游戏。
其中各堆的大小分别为7，9，12，15枚硬币。
用二进制表示各数分别为：0111，1001，1100和1111。于是可得到如下一表：
这里写图片描述
由Nim取子游戏的平衡条件可知，此游戏是一个非平衡状态的取子游戏，
因此，游戏人I在按获胜策略进行取子游戏下将一定能够取得最终的胜利。
具体做法有多种，游戏人I可以从大小为12的堆中取走11枚硬币，使得游戏达到平衡（如下表），
这里写图片描述
之后，无论游戏人II如何取子，游戏人I在取子后仍使得游戏达到平衡。
同样的道理，游戏人I也可以选择大小为9的堆并取走5枚硬币而剩下4枚，
或者，游戏人I从大小为15的堆中取走13枚而留下2枚。