我们发现，内积和外积都是和相对夹角相关，而和一对向量的整体刚体变换无关。本讲用一种特别的角度，从勾股定理出发，把两个向量长度构成的矩形面积分解称内积和外积两个部分。

两个向量的夹角，在复数上可以表达为一个向量和另一个向量共轭的乘积，于是我们可以使用Hermite内积的结构。进一步，我们发现Hermite内积将内积和外积分解到实部和虚部，从而统一了二者。这样的结构在复Hilbert空间和量子力学中有重要的应用。

继而我们推广到一般有限维度上的Hermite内积问题。这里面出现了复结构和辛矩阵。将来我们还可以在这些结构上过渡到辛几何。

本讲的内容，将来在许多地方都会遇到，包括泛函分析的Hilbert空间、微分几何中的外代数、微分形式、张量，以及复几何和辛几何等等。本讲将建立起基本的理解，便于今后的进一步理解。广告：高中生想快速学会微积分、线性代数，尝试大学数学物理知识戳这里网上私教 学霸养成。

上一讲在讲到正定二次型的时候提到内积。我们在中学已经接触到了内积和外积，对这些概念略有一些物理直观。现在，我们回到复平面，用

的工具来深入了解这些概念，并且得到一种重要的内积结构：Hermit内积。Hermit内积与许多数学性质相关，在泛函分析的算子理论和量子力学的数学基础上起着基础性的作用。深入地理解内积是对学习泛函分析大有帮助，而深入地理解外积，未来则将帮助我们开启外代数、外微分、外形式、symplectic结构等数学和物理领域。

矩形与平行四边形的面积：回顾中学知识

中学数学和中学物理经常遇到的一个问题是，平面两个向量所形成的平行四边形。中学学过了正交，倘若两向量正交，两向量的长度为

，则两向量形成一个矩形，面积为：

倘若两向量之间的夹角为

，则两向量形成的平行四边形的面积为：

这个面积是有向的。中学物理中的力矩就是一个例子。力矩的大小相当于力和径向长度两向量之间的平行四边形面积，且由夹角（面积）的符号方向决定力矩的符号方向。我们知道，这个有向的平行四边形面积一般称为外积。外（exterior）是一个在微分几何中很常见的概念，将来会具体谈。

作为余面积的内积

进一步，我们认为夹角

决定了投影

，它把两向量的矩形面积（两向量间任意夹角的最大可能面积）投影为平行四边形面积。即，外积是某种总面积投影形成的。

下面，我们谈余（co-）这个字。

正弦（sin = sine）

余弦（cos = cosine）

可见人们理解了正弦以后，便可以认为余弦是正弦余下的某种东西，或者当前者变化就要伴随（co-）着变化的某种东西。那么正弦和余弦之间靠什么联系呢？靠宇宙第一真理：

我们所以在这里讲到如此初等的内容，是为了让大家看到，内积从某种意义上，也是一种余面积。前面讲到总面积为

，在夹角

时，总面积投影成为外积

，那么自然就得到了一个余面积

。它不是别的，正是我们所数知的

夹角的描述：共轭

前面的讨论告诉我们，外积和内积是总面积根据两向量夹角

进行的正交投影。夹角成为了最主要的因素。令两向量分别为：

其夹角为

这个夹角是有方向的。于是外积和内积分别成为：

我们在第一讲中，使用了中学数学的三角函数，在

中研究过Euler公式。现在我们用类似的方法，将内积和外积写成

中的向量：

等下我们将了解到这个等式右边就是Hermit内积定义中的共轭乘法。这个式子相当于复数运算：

其关键之处在于对第二个变元是共轭的，从而在复数乘法中，得到了两向量的夹角。

Hermit内积

综上，向量

之间定义运算

可以得到一个复数，其实部为向量内积、虚部为向量外积。

如此定义的运算可以证明是一个复内积，称为Hermit内积。

既然

是同构的，我们在实平面

上构造向量：

我们注意到，这两个向量的内积就是以上Hermit内积的实部，而Hermit内积的虚部可以展开为：

真正有趣的是这个形似单位矩阵却又不同的东西：

在前面我们已经遇到过它，见：

这个结构是一个复结构，即：

除了现在讨论的形式，Hermit内积还可以有多维复向量的形式，以及无穷维函数空间上平方可积的形式等等。无论那种形式，其核心思想仍然是通过对其中一个变元的共轭，将两个矢量的角度构造夹角，从而能够实现某种”总面积“的正交投影。

在量子力学中，广泛出现的是波函数及其对偶空间上的bracket内积，它是在复平方可积空间

上，定义了

多维Hermit内积和辛结构

下面考虑把Hermit内积推广到多维，向量

之间定义运算

约定

表示由内部的分量构成一个向量，令：

定义多维的Hermit内积为：

上式用到Einstein求和约定，得到一个复数。

既然

是同构的，我们在实平面

上构造向量：

我们注意到，这两个向量的内积就是以上Hermit内积的实部，而Hermit内积的虚部可以展开为：

其中

是分块矩阵，由四个

维方阵构成。这个结构和前面一维情形提到的

非常相似：

于是

也是一个复结构。

Hermit内积的虚部，是以复结构

作为双线性映射来构造的，称为

作为实空间的产物，实内积就是数量乘法在多维的推广，我们已经理解很深入了。更有趣的是外积的结构。目前，我们将其理解为平行四边形的面积。然而，外积的交错的形式，在数学上有非常深入的探讨，它将带领我们进入symplectic几何也就是所谓辛几何的领域。

在详细讨论辛几何之前，我们还要了解更多关于对偶空间的知识，待我们深刻理解对偶空间上建立的最主要的代数结构——张量之后，我们将能够继续深入探讨辛结构问题。