有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。
第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8思路：
f[i][j]:表示所有选法集合中,只从前i个物品中选,并且总体积比j小的选法的集合,它的值是这个集合中每一个选法的最大值.
状态转移方程
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i])
f[i-1][j]:不选第i个物品的集合中的最大值
f[i-1][j-v[i]]+w[i]:选第i个物品的集合,但是直接求不容易求所在集合的属性,先将第i个物品的体积减去,求剩下集合中选法的最大值.
问题，例如选择物品的体积为3，那么他的上一个就得是f[i-1][j-3],加上他之后就是f[i][j]
集合如何划分
一般原则:不重不漏,不重不一定都要满足(一般求个数时要满足)
如何将现有的集合划分为更小的子集,使得所有子集都可以计算出来。
import java.util.Scanner;
public class Solution2 {
public static void main(String[] args)
{
int m,n;
Scanner sc = new Scanner(System.in);
m = sc.nextInt();//物品数量
n = sc.nextInt();//背包容量
int i,j;
int dp[][] = new int[m+1][n+1];
dp[0][0]=0;
int weight[] = new int[m+1];
int value[] = new int[m+1];
for(i=1;i<=m;i++)
{
weight[i] = sc.nextInt();
value[i] = sc.nextInt();
}
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=0;j<=n;j++)
{
dp[i][j] = dp[i-1][j];//不选第i个
if(j>=weight[i])
{
dp[i][j]=Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
}
}
}
int max = 0;
for(i=0;i<=n;i++)
{
max = Math.max(max, dp[m][i]);
}
System.out.println(max);
}
}
优化后的代码：dp只与前面那一行有关，与列无关，所以可以使用一维数组
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args)
{
int m,n;
Scanner sc = new Scanner(System.in);
m = sc.nextInt();//物品数量
n = sc.nextInt();//背包容量
int i,j;
int dp[] = new int[n+1];
int weight[] = new int[m+1];
int value[] = new int[m+1];
for(i=1;i<=m;i++)
{
weight[i] = sc.nextInt();
value[i] = sc.nextInt();
}
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=n;j>=weight[i];j--) //从大到小枚举是因为，如果写成从小到大，那相当于是
//dp[i][j]=Math.max(dp[i][j], dp[i][j-weight[i]]+value[i]),
//例如：第一个物体体积为3，dp[3]=3，dp[6]=6,选取了两次，i=1时，dp[3~n]都应该是3，因为此时物体只有一个
{
dp[j]=Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i]);
}
}
int max = 0;
for(i=0;i<=n;i++)
{
max = Math.max(max, dp[i]);
}
System.out.println(max);
}
}
