图像加减运算

图像的加减运算

原创文章：转载请注明出处 ©️ Sylvan Ding

图像相加

图像相加常常被用来进行图片降噪处理。令 $g (x, y)$ 是无噪声理想图像 $f (x, y)$ 被高斯加性噪声 $η(x,y)\eta (x,y)$ 污染后的图像，即

$g(x,y)=f(x,y)+η(x,y)g(x,y)=f(x,y)+\eta (x,y)$

其中， $η\eta$ 为 $μ=0\mu =0$ 、 $σ2=ση2\sigma ^2 =\sigma ^2 _\eta$ 的高斯加性噪声，且 $η\eta$ 与 $f$ 不相关，那么通过对有噪图像进行平均，可以得到 $gˉ(x,y)\bar{g}(x,y)$ ：

$gˉ(x,y)=1K∑i=1Kgi(x,y)\bar{g}(x,y)=\frac{1}{K}\sum _{i=1} ^K g_i(x,y)$

其中， $K$ 是有噪图像张数，不难证明：

$E{gˉ(x,y)}=f(x,y)E\{ \bar{g}(x,y) \}=f(x,y)$

$σgˉ=1Kση\sigma _{\bar{g}} = \frac{1}{\sqrt{K}} \sigma _{\eta }$

其中， $E{gˉ}E\{ \bar{g} \}$ 是 $gˉ\bar{g}$ 的期望， $σgˉ\sigma _{\bar{g}}$ 是 $gˉ\bar{g}$ 的标准差。上式表明，当 $K$ 不断增大， $σgˉ\sigma _{\bar{g}}$ 将不断减小， $gˉ\bar{g}$ 越来越接近 $f$ .

证明如下：

$E{gˉ}=E{1K∑i=1K[fi+ηi]}=1K∑i=1K[E{fi}+E{ηi}]=f\begin{array}{c} & E\{ \bar{g} \} = E\{ \frac{1}{K} \sum _{i=1} ^K [f_i+\eta _i] \} \\ & = \frac{1}{K} \sum _{i=1} ^K [E\{ f_i\}+E\{ \eta _i\}] = f \end{array}$

$σgˉ2=Var{1K∑i=1K[fi+ηi]}=1K2Var{∑i=1K[fi+ηi]}=1K2∑i=1K[Var{fi}+Var{ηi}]=1K2Kση2=1Kση2\begin{array}{c} \sigma ^2 _{\bar{g}} &=& Var\{ \frac{1}{K} \sum _{i=1} ^K [f_i+\eta _i] \} \\ &=& \frac{1}{K^2} Var\{ \sum _{i=1} ^K [f_i+\eta _i] \} \\ &=& \frac{1}{K^2} \sum _{i=1} ^K [Var\{ f_i \}+Var\{\eta _i\}] \\ &=& \frac{1}{K^2} K \sigma ^2 _{\eta } \\ &=& \frac{1}{K} \sigma ^2 _{\eta } \end{array}$

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltmu = .0
sigma = 128.0# show original img and img with noise obeying N(0, 16384),
# perhaps some pixel value is over 255 after adding noiseimg = 'lena_gray.bmp'f = cv2.imread(img, cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
eta = mu + sigma * np.random.rand(f.shape[0], f.shape[1])
g = f + etaplt.subplot(121)
plt.imshow(f, cmap='gray')
plt.subplot(122)
plt.imshow(g, cmap='gray')
plt.show()

左图为原图，右图为当噪声 $ση=128\sigma _\eta =128$ 时的有噪图像.

分别对 $K∈{4,16,32,64}K\in \{4,16,32,64 \}$ 进行平均降噪.

在这里插入图片描述

K = [4, 16, 32, 64]etai = mu + sigma * np.random.rand(f.shape[0], f.shape[1], 128)fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(7, 7))
for i in range(2):for j in range(2):eta = np.mean(etai[:, :, :K[i*2+j]], axis=2)g = f + etaax = axs[i][j]ax.set_title('K={}'.format(str(K[i*2+j])))ax.imshow(g, cmap='gray')
plt.show()