OpenGL之几何、投影、裁剪、视口变换以及全局变换与局部变换

一、变换的概念

1.1 图形流水线
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1.2 变换（Transformation）

变换主要分为四个步骤，主要就是在Vertex operations阶段操作顶点信息，会在流水线中依次进行。

几何变换
投影变换
裁剪
视口变换

三维模型到二维图形的主要变换过程，注意各种窗口的区别。
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投影窗口：是一个虚拟的窗口，与具体的硬件设备无关。
视口变换：视口与相关的硬件设备有关。

1.3 OpenGL中变换相关的函数

几何变换：glTranslate、glRotate、glScale，这些函数只是计算一个变换矩阵，然后作为参数设置到图形流水线中。
投影：glFrustum()、gluPerspective()、glOrtho();
视口变换：glFrustum()、gluPerspective()、glOrtho()，glViewport();

1.4 几何变换

1.4.1 平移
点P(x,y,z)平移到 P’(x’,y’,z’)，平移向量为T(∆x，∆y，∆z)
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x’ = x + ∆x;
y’ = y + ∆y;
z’ = z + ∆z;

表达为向量形式为：P’ = P + T;

表达为矩阵形式：
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但是上述矩阵表达并不完美，因此可以将其进行齐次化，使得矩阵的表达结构都变得统一，OpenGL中采用4 x 4 的矩阵来表示。

OpenGL中，在调用平移函数glTranslatef(∆x，∆y，∆z)时，就构造了一个平移矩阵。

1.4.2 缩放

点P(x，y，z)经过缩放得到点P’( x’，y’，z’) ，即乘以一个缩放因子：

x’ = x * $S_x$ ；
y’ = y * $S_y$ ；
z’ = z * $S_z$ ；

表达为向量形式：P’ = P * S，表达为矩阵形式，并齐次化。
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OpenGL中，在调用平移函数glScalef( $S_x$ ， $S_y$ ， $S_z$ )时，就构造了一个缩放矩阵。

缩放中心在原点(0，0，0)，若仅缩放图形的大小，不改变图形的位置，即：

可以采用组合的方式来实现，即先平移到缩放中心，在缩放，再平移到原来的位置。
glTranslatef(- $x_p$ ，- $y_p$ ，- $z_p$ )
glScalef( $S_x$ ， $S_y$ ， $S_z$ )
glTranslatef( $x_p$ ， $y_p$ ， $z_p$ )

1.4.3 旋转

点P绕z轴逆时针选旋转 α 角：
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P(x，y)、P(x’，y’)点的极坐标形式为：

则可以把x’，y’，z’表示出来：

将其表达为矩阵形式：

同理，可以推导出沿y轴和沿x轴的旋转：

实现沿任意向量( $A_x$ 、 $A_y$ 、 $A_z$ )的旋转：
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在OpenGL中，构建了一个新的坐标系统O $xyz‾\overline{xyz}$ ，该坐标系以向量( $A_x$ 、 $A_y$ 、 $A_z$ )为z轴，让后将顶点从Oxyz坐标中变换到O $xyz‾\overline{xyz}$ 中，直观理解为点的位置不变，但在不同坐标系中的坐标不一样，再绕z轴旋转，最后将旋转后的顶点从O $xyz‾\overline{xyz}$ 坐标系变换到Oxyz坐标系中。

坐标系Oxyz $→\rightarrow$ O $xyz‾\overline{xyz}$ ：矩阵A；
旋转；
坐标系O $xyz‾\overline{xyz}$ $→\rightarrow$ Oxyz ：矩阵 $A^T$ （转置矩阵），实际上应该为 $A^{-1}$ (逆矩阵)，因为A是一个正交矩阵，因此 $A^{-1}$ == $A^T$ ；

glRotate(angle，x，y，z)；

1.5 采用矩阵形式来表达几何变换，可以方便把各种变换组合起来，也可以减少计算量，最终只需要一个矩阵作用与顶点数据。

在OpenGL中，当前模型的变换矩阵为：M，调用glTranslatef()函数时，会生成一个矩阵T，让后将矩阵T右乘于矩阵M，即：

M’ = M * T；

当在调用glRotatef()函数时，会生成一个R矩阵，右乘于矩阵 M’：

M’’ = M’ * R；

当最终将矩阵作用于顶点P(x，y，z)时，为：

M’’ * P = (M * T * R ) * P;
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1.6 在1.5中，我们注意到，顶点P位于矩阵 M’'的右边，可以看出，P点是先旋转，再平移，再进行M变换，为什么矩阵是写在原矩阵的右边，而最终的矩阵要写在顶点P的左边呢？后面我们将进行解答。

1.7 矩阵的应用
图元P1、P2经过了变换T1、T2、… 、Tn，OpenGL中是先进行一系列的变换矩阵的处理，最后再作用于图元（点，三角形，三角形带，四边形等都称为Primitive）。

glLoadIdentity();			//初始化矩阵M为单位矩阵,M = I;Tranformation T1;...Tranformation Tn;       //变换，M = I * T1 * ... * Tn;Primitive P1;Primitive P2;

P1经过变换T1、T2；P2经过变换T3、T4；OpenGL中基本的逻辑顺序为：

glLoadIdentity();			//初始化矩阵M为单位矩阵,M = I;Tranformation T1;Tranformation T2;       //变换，M = I * T1 *T2;Primitive P1;
glLoadIdentity();			//初始化矩阵M为单位矩阵，M = ITranformation T3;Tranformation T4;       //变换，M = I * T3 *T4;Primitive P2;

二、矩阵的管理

2.1 OpenGL中采用堆栈来管理矩阵，主要采用** glPushMatrix() 和 glPopMatrix() **函数。

假设P1、P2有相同的变换 $T_c$ ；P1有经过了变换T1、T2；P2经过了变换T3、T4，则伪码为：

glLoadIdentity();Transformation Tc;
glPushMatrix();Transformation T1;Transformation T2;Primitive P1;
glPopMatrix();
glPushMatrix();Transformation T3;Transformation T4;Primitive P2;
glPopMatrix();

glPushMatrix()起到了保护环境的作用；glPopMatrix()起到了恢复环境的作用，两者一般配合起来使用，起到了隔离的作用，中间的部分不会对 glPushMatrix()和glPopMatrix()之外的操作产生影响。

glPushMatrix();glTranslatef(-1.0, 0.0, 0.0);glRotatef((GLfloat)shoulder,0.0,0.0,1.0);glTranslatef(1.0, 0.0, 0.0);glPushMatrix();glScalef(2.0,0.4,1.0);glutWireCube(1.0);glPopMatrix();glPushMatrix();glScalef(1.0,0.4,1.0);glRotatef((GLfloat)elbow,0.0,0.0,1.0);glTranslatef(1.0, 0.0, 0.0);glScalef(2.0,0.4,1.0);glutWireCube(1.0);glPopMatrix();
glPopMatrix();

2.2 相关操作对栈中矩阵的影响

glLoadIdentity()：使栈顶矩阵为单位矩阵；
glTranslate*()，glRotate*()，glScale*()：栈顶矩阵左乘于变换矩阵；
glPushMatrix()：将栈顶矩阵复制一份，入栈。
glPopMatrix() : 退栈，恢复到Push之前的状态；

三、模型变换与视点变换

3.1 Model-View Transformation

视点不变。变换模型位置；OpenGL默认的视点位置在原点，视线方向为z轴负方向。

3.2 View transformation

物体不变，变换视点位置，如漫游功能。

两种变换是可以统一的，也可以相互转化。在OpenGL中有各种堆栈，有的用来管理模型变换与视点变换，有的用来管理投影变换，有的用来管理纹理变换。 glMatrixMode(GL_MODELVIEW)用来设置操作的堆栈，即管理模型与视点变换的堆栈。因为模型变换与视点变换是相对的，在OpenGL中，我们可以认为视点总是不变的，所有的变换都是模型变换。

3.3 gluLookAt()函数

void glutLookAt(eyex,eyey,eyez,centerx,centery,centerz,upx,upy,upz)，可以用来实现漫游功能，即视点变换，通过指定摄像机的视线方向，中心点和上方向，就可以实现漫游功能。

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glTranslate()、glRotate()、glScale()都可以理解为视点不动，变换模型，而gluLookAt()是模拟物体不动，变换视点的控制效果。本质上两者都一样，gluLookAt()函数也是计算了一个变换矩阵。

四、全局变换与局部变换

4.1 Global transformation：全局坐标系变换模式，固定坐标系模型，图形模式；如下变换，物体的局部坐标也随着物体改变；
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4.2 Local transformation ：局部坐标系变换模式，活动坐标系模式，空间模式。如下变换模式，物体在局部坐标系中变换。第一种采用与全局变换顺序一样的矩阵进行局部变换；第二种与全局坐标相反的矩阵进行局部变换。
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4.3 两种变换方式产生的效果完全不一样，但是两种方法之间又具有联系，将局部变换的顺序调整一下，即可产生与全局变换完全一样的效果。

4.4 局部坐标系的变换顺序的逆变换即为全局坐标系的变换，全局坐标系的变换顺序的逆变换即为局部坐标系变换。

如果只有依次变换（旋转、平移、缩放），那么全局变换和局部变换效果一样；
多种变换的组合时，全局变换与局部变换效果一般不同；
局部变换正好相当于组合顺序相反的全局变换；

4.5 局部变换

局部变换在子模型相对于父模型的变换中很有用，可以很方便的进行变换，而全局变换则比较复杂；在OpenGL中，单次的变换是全局变换，而组合的多次变换则是局部变换。

4.6 例子

glLoadIdentity();
glTranslatef(10.0f,0.0f,0.0f);
glRotatef(45.0f,0.0f,0.0f,1.0f);glBegin(GL_QUADS);
...
glEnd();

生成的矩阵：
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最终作用于顶点：
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通过变换的过程可以理解：代码里面是先平移、再旋转、而实际作用于顶点时，将矩阵放在了点的左边，是先旋转，再平移，这就是局部变换的逆变换就是全局变换的含义。

注意：上述矩阵采用的都是行优先，矩阵都是乘再原矩阵的右边，而再OpenGL中采用的是列矩阵，因此新产生的矩阵总是乘再原矩阵的左边。

附录：中国大学Mooc，图形编程技术，北京林业大学，杨刚