法国学者29页预印本论文「证明」黎曼猜想，这次的方向对了吗？

来源：机器之心

2018年秋天，当菲尔兹奖、阿贝尔奖得主、89岁高龄的迈克尔 · 阿蒂亚（Michael Atiyah）爵士站在海德堡获奖者论坛的讲台，用45分钟、一页PPT展示了自己对黎曼猜想的证明时，众人沸腾。

这是阿蒂亚爵士的最后一次公开数学报告，报告结束后三个月，阿蒂亚爵士与世长辞。

拥有有160多年历史的黎曼猜想，是数学王冠上的明珠，让无数人为之辗转。

试图证明这一猜想的人很多，但被公认的方法至今还没出现。阿蒂亚爵士在演讲之后也公布了自己证明黎曼猜想的预印本，仍未被众人认可。

近日，一份关于黎曼猜想证明的预印本论文，在数学社区引发了热议。

10月31日，兰斯大学的Andre Unterberger在arXiv上传论文《A pseudodifferential proof of the Riemann hypothesis》。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2111.02792.pdf

作者 1971 年在巴黎狄德罗大学获得博士学位，研究方向为偏微分方程。他的导师是法国数学家、1950 年菲尔兹奖得主 Laurent Schwartz。

2002 年，Andre Unterberger 获得西班牙 Ferran Sunyer i Balaguer 奖。此前，他也曾发表过关于拉马努金猜想、庞加莱猜想等数学命题的证明，并出版了多本著作。

这篇论文的参考来源也是Andre Unterberger自己在2018年出版的一本关于数论的书籍《Pseudodifferential methods in number theory》。书籍介绍中就提到了「探索一种证明黎曼猜想的新方法」。

有趣的黎曼猜想

黎曼猜想是数学家黎曼在1859年向柏林科学院提交的一篇8页短论文中提出的，这篇论文讨论了素数分布的问题。黎曼发现，素数分布的规律就隐藏在某个函数的零点分布中。这个函数就是黎曼 ζ 函数：

黎曼将该函数解析延拓至整个复平面，并指出：黎曼ζ函数的非平凡零点（是指s不为- 2、-4、-6‧‧‧ 等点的值，这些都是平凡零点）的实数部分都是1/2。也就是说，这些非平凡零点都分布在复平面的 Re(z)=1/2 的直线上（即下图中的虚线）。

要证伪黎曼猜想，只需要找到一个不在 Re(z)=1/2 这条直线上的非平凡零点即可，只不过目前还没有发现这样的零点。

黎曼猜想及推广形式的成立是现有很多数学命题的前提。如果黎曼猜想及其推广形式被证明，这些数学命题都将变为数学定理；反之，一旦黎曼猜想被证伪，将有1000多个数学命题成为黎曼猜想的「陪葬品」。

这项研究证明了黎曼猜想的什么？

在这篇论文中，Andre Unterberger对黎曼猜想涉及到的厄米特形式（hermitian form）的分析和算术部分进行了详尽的比较，从而证明了该猜想。

该研究对黎曼猜想的证明基于对如下分布的探究：

其中，，，r=1,2,...。被称作 Eisenstein 分布，在某些情况下，

与分布相关联的线性算子将 S(R)转变为 S’(R)

该研究利用欧拉算子更具体地说是重新扩展了运算符的集合，即

Unterberger在2018年的一项研究 [1] 中，当β>2 且ε>0 时，对于在[0,β] 中的每个 R.H. 已经被证明等价于：

给定一个正整数 N，

如果Q无平方，且函数在 [0, β] 中被支持，则N=RQ是一个可被所有小于βQ的素数整除的无平方整数，可得到以下方程：

现在，右侧的厄米特形式适用于代数算术版本。实际上，将 half-line支持的中的函数传递到以下方程定义的线性情况下上的函数：

与 [1] 中已获得的证明结果相比，新研究在于充分利用了这种代数结构和测试函数w的支持假设。作者通过进一步的条件来利用一切可能性约束R，然后主厄米特形式(1.7) 本质上等于Q^2乘以「简化」形式。如果假设w在 [0, β] 中得到支持，对于某些 β，则可以使用主厄米特的简单无条件估计形式，也就能够对简化形式实现非常好的估计。为了从中推导出黎曼猜想，剩下要做的是为简化形式提供一个类似于（1.5）的标准。