1. 问题描述

有一个数字序列包含n个不同的数字，如何求出这个序列中的最长递增子序列长度？比如2，9，3，6，5，1，7这样一组数字序列，它的最长递增子序列就是2，3，5，7，所以最长递增子序列的长度是4。
https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/

2. 解题思路

• 类似题目：
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2.1 动态规划

• 假设在包含 i-1 下标数字时的最大递增子序列长度为 maxLen（i-1），那么下标为 i 时的 maxLen（i）需要考虑前面所有的状态，
• 如果 a[j] < a[i] （0 <= j < i），则 maxlen[i] = max(maxlen[j]+1 | （0 <= j < i）);
• 如果 a[j] >= a[i] （0 <= j < i），则 maxlen[i] = 1;

借一张动图说明

class Solution 
{
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();if(n == 0)return 0;int maxlen[n], ans;int i, j;for(i = 0; i < n; ++i)maxlen[i] = 1;//至少为1，自己for(i = 1; i < n; ++i){ans = 1;for(j = 0; j < i; ++j){if(nums[i] > nums[j] && maxlen[j]+1 > ans){ans = maxlen[j]+1;maxlen[i] = ans;} }}for(ans = 1, i = 0; i < n; ++i){if(maxlen[i] > ans)//取最大值ans = maxlen[i];}return ans;}
};

class Solution {	//2020.3.14
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {if(nums.size() == 0)return 0;int i, j, n = nums.size(),maxlen = 1;vector<int> dp(n,1);for(i = 1; i < n; ++i){for(j = i-1; j >= 0; --j){if(nums[i] > nums[j])dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);}maxlen = max(maxlen, dp[i]);}return maxlen;}  
};

2.2 二分查找

• 参考官方的解答
• dp[i] 表示长度为 i+1 的子序的最后一个元素的 最小数值
• 遍历每个 nums[i]，找到其在dp数组中的位置（大于等于 nums[i] 的第一个数），将他替换成较小的

以输入序列 [0, 8, 4, 12, 2] 为例：

第一步插入 0，dp = [0]

第二步插入 8，dp = [0, 8]

第三步插入 4，dp = [0, 4]

第四步插入 12，dp = [0, 4, 12]

第五步插入 22，dp = [0, 2, 12]

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {if(nums.size() == 0)return 0;int i, l, r, n = nums.size(), maxlen = 1, idx;vector<int> dp(n);dp[0] = nums[0];for(i = 1; i < n; ++i)//遍历每个数{l = 0, r = maxlen-1;idx = bs(dp,l,maxlen,nums[i],maxlen);//二分查找nums[i] 在dp中的位置if(idx == maxlen)//nums[i] 是最大的{dp[idx] = nums[i];maxlen++;}else//不是最大的，更新 dp[i] 里的数为较小的dp[idx] = min(dp[idx], nums[i]);}return maxlen;}  int bs(vector<int> &dp, int l, int r, int& target, int& maxlen){	//二分查找nums[i] 在dp中的位置， 第一个大于等于 nums[i] 的int mid;while(l <= r){mid = l + ((r-l)>>1);if(dp[mid] < target)l = mid+1;else{if(mid == 0 || dp[mid-1] < target)return mid;elser = mid-1;}}return maxlen;//没有找到，nums[i] 最大，放最后}
};

• 基于上面的想法，直接用 treeset 可以简化代码

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {if(nums.size() == 0)return 0;set<int> s;for(auto& n : nums){if(s.count(n))continue;else{auto it = s.upper_bound(n);//n的上界if(it == s.end())//没有比我大的s.insert(n);else//有比我大的{s.erase(it);//删除比我大的s.insert(n);//换成我}}}return s.size();}
};