参考：
吴恩达视频课
深度学习笔记

1. 二分类

• 判断图片中动物是猫？不是猫？ 特征向量 是 3通道的RGB矩阵 展平
  

2. 逻辑回归

3. 逻辑回归损失函数

几种常见的损失函数

$$L\left({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)}\right)=-\left(y^{(i)}\log \left({\hat{y}}^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right)\log \left(1-{\hat{y}}^{(i)}\right)\right)$$
交叉熵损失函数，常用于二分类问题。

代价函数：

• 所有的样本的损失函数的平均值
  $$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L\left({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)}\right)=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left[y^{(i)}\log \left({\hat{y}}^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right)\log \left(1-{\hat{y}}^{(i)}\right)\right]$$

目标就是找到合适的参数，使得代价函数最小化

4. 梯度下降

如何寻找合适的 $w，b$ 使得代价函数最小呢？

迭代的过程中，不断的在各参数的偏导数方向上更新参数值，$\alpha$ 是学习率
$$\begin{array}{l}w:=w-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial w}\\ \\ b:=b-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial b}\end{array}$$

5. 导数

函数在某一点的斜率，在不同的点，斜率可能是不同的。

6. 计算图导数计算

链式求导法则：

7. 逻辑回归中的梯度下降

$$\begin{array}{l}z=w^{T}x+b\\ \hat{y}=a=\sigma (z)\\ \mathcal{L}(a,y)=-(y\log (a)+(1-y)\log (1-a))\end{array}$$

sigmoid 函数：$f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$
sigmoid 求导：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f(z)}{\partial z}& =\frac{-1\ast -1\ast e^{-z}}{{\left(1+e^{-z}\right)}^2}\\ & =\frac{e^{-z}}{{\left(1+e^{-z}\right)}^2}\\ & =\frac{1+e^{-z}-1}{{\left(1+e^{-z}\right)}^2}\\ & =\frac{1}{1+e^{-z}}-\frac{1}{{\left(1+e^{-z}\right)}^2}\\ & =\frac{1}{1+e^{-z}}\left(1-\frac{1}{1+e^{-z}}\right)\\ & =f(z)(1-f(z))\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a}& =-\frac{y}{a}+\frac{1-y}{1-a}\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}& =\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial z}=(-\frac{y}{a}+\frac{1-y}{1-a})\ast a(1-a)=a-y\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_1}& =\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w_1}=x_1(a-y)namedd{w}_1\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_2}& =\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w_2}=x_2(a-y)namedd{w}_2\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b}& =\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial b}=a-ynameddb\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{w}_1:=w_1-\alpha \ast d{w}_1\\ w_2:=w_2-\alpha \ast d{w}_2\\ b:=b-\alpha \ast db\end{array}$$

8. m个样本的梯度下降

假设有m个样本，样本有2个特征

// 伪代码 from http://www.ai-start.com/dl2017/html/lesson1-week2.html
J=0; dw1=0; dw2=0; db=0;
for i = 1 to mz(i) = wx(i)+b;a(i) = sigmoid(z(i));J += -[y(i)log(a(i))+(1-y(i))log(1-a(i))];dz(i) = a(i)-y(i);dw1 += x1(i)dz(i); // 全部样本的梯度累加dw2 += x2(i)dz(i);db += dz(i);// 求平均值
J /= m;
dw1 /= m;
dw2 /= m;
db /= m;// 更新参数 w, b
w = w - alpha*dw
b = b - alpha*db

• 显式的使用 for 循环是很低效的，要使用向量化技术 加速计算速度

9. 向量化

使用 numpy 等库实现向量化计算，效率更高

import numpy as np #导入numpy库
a = np.array([1,2,3,4]) #创建一个数据a
print(a)
# [1 2 3 4]
import time #导入时间库
a = np.random.rand(1000000)
b = np.random.rand(1000000) #通过round随机得到两个一百万维度的数组tic = time.time() #现在测量一下当前时间
#向量化的版本
c = np.dot(a,b)
toc = time.time()
print(c)
print('Vectorized version:' + str(1000*(toc-tic)) +'ms') #打印一下向量化的版本的时间#继续增加非向量化的版本
c = 0
tic = time.time()
for i in range(1000000):c += a[i]*b[i]
toc = time.time()
print(c)
print('For loop:' + str(1000*(toc-tic)) + 'ms')#打印for循环的版本的时间

上面例子，向量化计算快了600多倍

250241.79388712568
Vectorized version:0.9975433349609375ms
250241.7938871326
For loop:687.734842300415ms

10. 向量化的更多例子

J=0; db=0;
dw = np.zeros((nx,1)) // numpy向量化
for i = 1 to mz(i) = wx(i)+b;a(i) = sigmoid(z(i));J += -[y(i)log(a(i))+(1-y(i))log(1-a(i))];dz(i) = a(i)-y(i);dw += x(i)dz(i); // 向量化，全部样本的梯度累加db += dz(i);// 求平均值
J /= m;
dw /= m;// 向量化
db /= m;// 更新参数 w, b
w = w - alpha*dw
b = b - alpha*db

这样就把内层的 dw1,... dwn 的计算使用向量化了，只用1层 for 循环，还可以做的更好，往下看

11. 向量化 logistic 回归

逻辑回归前向传播步骤：

• 对每个样本进行计算
  $$z^{(1)}=w^T{x}^{(1)}+b$$
• 计算激活函数，得到预测值 y`
  $$a^{(1)}=\sigma (z^{(1)})$$

可以使用 numpy 来计算：

• $Z=np.dot(w^T,X)+b$，+ b 会对每个元素操作，是 numpy 的广播机制
• $A=\left[a^{(1)}{a}^{(2)}\dots a^{(m)}\right]=\sigma (Z)$

这样就没有显式使用 for 循环，计算非常高效

12. 向量化 logistic 回归梯度输出

$$\begin{array}{l}Z=w^{T}X+b=np.dot(w.T,X)+b\\ A=\sigma (Z)\\ dZ=A-Y\\ dw=\frac{1}{m}\ast X\ast d{Z}^T\\ db=\frac{1}{m}\ast np.sum(dZ)\\ w:=w-a\ast dw\\ b:=b-a\ast db\end{array}$$

非向量化、向量化对比：

• 这样就向量化的计算，完成了逻辑回归的 1 次迭代，要完成 n_iter 次迭代就在外层加一层 for 循环，这个 for 是省不了的

13. numpy 广播机制

import numpy as npA = np.array([[56, 0, 4.4, 68],[1.2, 104, 52, 8],[1.8, 135, 99, 0.9]
])cal = A.sum(axis=0)  # 按列求和
print(cal)percentage = 100 * A / cal.reshape(1, 4)
print(percentage)

[ 59.  239.  155.4  76.9]
[[94.91525424  0.          2.83140283 88.42652796][ 2.03389831 43.51464435 33.46203346 10.40312094][ 3.05084746 56.48535565 63.70656371  1.17035111]]

axis指明运算 沿着哪个轴执行，在numpy中，0轴是垂直的，也就是列，而1轴是水平的，也就是行

• 例1

A = np.array([[1, 2, 3, 4]])
b = 100
print(A+b)

[[101 102 103 104]]

• 例2

A = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6]])
B = np.array([100, 200, 300])
print(A+B)

[[101 202 303][104 205 306]]

• 例3

A = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6]])
B = np.array([[100], [200]])
print(A + B)

[[101 102 103][204 205 206]]

• 广播机制与执行的运算种类无关

14. 关于 python / numpy 向量的说明

• 总是使用 nx1 维矩阵（列向量），或者 1xn 维矩阵（行向量）
• 为了确保所需要的维数时，不要羞于 reshape 操作

作业

01.神经网络和深度学习 W2.神经网络基础（作业 - 逻辑回归 图片识别）

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