01.神经网络和深度学习 W3.浅层神经网络

文章目录

    • 1. 神经网络概览
    • 2. 神经网络的表示
    • 3. 神经网络的输出
    • 4. 多样本向量化
    • 5. 激活函数
    • 6. 为什么需要 非线性激活函数
    • 7. 激活函数的导数
    • 8. 随机初始化
    • 作业

参考:
吴恩达视频课
深度学习笔记

1. 神经网络概览

在这里插入图片描述
xW[1]b[1]}⟹z[1]=W[1]x+b[1]⟹a[1]=σ(z[1])\left.\begin{array}{c}x \\ W^{[1]} \\ b^{[1]}\end{array}\right\} \Longrightarrow z^{[1]}=W^{[1]} x+b^{[1]} \Longrightarrow a^{[1]}=\sigma\left(z^{[1]}\right)xW[1]b[1]z[1]=W[1]x+b[1]a[1]=σ(z[1])

第一层根据输入计算 z[1]z^{[1]}z[1],然后计算第一层的输出 a[1]a^{[1]}a[1]

a[1]=σ(z[1])W[2]b[2]}⟹z[2]=W[2]a[1]+b[2]⟹a[2]=σ(z[2])⟹L(a[2],y)\left.\begin{array}{r}a^{[1]}=\sigma\left(z^{[1]}\right) \\ W^{[2]} \\ b^{[2]}\end{array}\right\} \Longrightarrow z^{[2]}=W^{[2]} a^{[1]}+b^{[2]} \Longrightarrow a^{[2]}=\sigma\left(z^{[2]}\right)\\ \Longrightarrow L(a^{[2]}, y)a[1]=σ(z[1])W[2]b[2]z[2]=W[2]a[1]+b[2]a[2]=σ(z[2])L(a[2],y)

把第一层的输出 a[1]a^{[1]}a[1] 作为第二层的输入,计算 z[2]z^{[2]}z[2],代入 sigmoid 函数,得到输出 a[2]a^{[2]}a[2],进而计算损失函数

da[1]=dσ(z[1])dW[2]db[2]}⟸dz[2]=d(W[2]a[1]+b[2])⟸da[2]=dσ(z[2])⟸dL(a[2],y)\left.\begin{array}{rl}d a^{[1]}=d \sigma\left(z^{[1]}\right) & \\ d W^{[2]} \\ d b^{[2]}\end{array}\right\} \Longleftarrow d z^{[2]}=d\left(W^{[2]} a^{[1]}+b^{[2]}\right) \Longleftarrow d a^{[2]}=d \sigma\left(z^{[2]}\right)\\ \Longleftarrow dL(a^{[2]}, y)da[1]=dσ(z[1])dW[2]db[2]dz[2]=d(W[2]a[1]+b[2])da[2]=dσ(z[2])dL(a[2],y)

还有反向的求导过程

2. 神经网络的表示

在这里插入图片描述

3. 神经网络的输出

在这里插入图片描述
每个神经网络单元的工作包括两部分:计算 zzz,然后根据激活函数(sigmoid)计算 σ(z)\sigma(z)σ(z)

z1[1]=w1[1]Tx+b1[1],a1[1]=σ(z1[1])z2[1]=w2[1]Tx+b2[1],a2[1]=σ(z2[1])z3[1]=w3[1]Tx+b3[1],a3[1]=σ(z3[1])z4[1]=w4[1]Tx+b4[1],a4[1]=σ(z4[1])\begin{aligned} z_{1}^{[1]} &=w_{1}^{[1] T} x+b_{1}^{[1]}, \quad a_{1}^{[1]}=\sigma\left(z_{1}^{[1]}\right) \\ z_{2}^{[1]} &=w_{2}^{[1] T} x+b_{2}^{[1]}, \quad a_{2}^{[1]}=\sigma\left(z_{2}^{[1]}\right) \\ z_{3}^{[1]} &=w_{3}^{[1] T} x+b_{3}^{[1]}, \quad a_{3}^{[1]}=\sigma\left(z_{3}^{[1]}\right) \\ z_{4}^{[1]} &=w_{4}^{[1] T} x+b_{4}^{[1]}, \quad a_{4}^{[1]}=\sigma\left(z_{4}^{[1]}\right) \end{aligned}z1[1]z2[1]z3[1]z4[1]=w1[1]Tx+b1[1],a1[1]=σ(z1[1])=w2[1]Tx+b2[1],a2[1]=σ(z2[1])=w3[1]Tx+b3[1],a3[1]=σ(z3[1])=w4[1]Tx+b4[1],a4[1]=σ(z4[1])

[layer] 上标表示第几层,下标表示该层的第几个节点

在这里插入图片描述
a[1]=[a1[1]a2[1]a3[1]a4[1]]=σ(z[1])a^{[1]}=\left[\begin{array}{c}a_{1}^{[1]} \\ a_{2}^{[1]} \\ a_{3}^{[1]} \\ a_{4}^{[1]}\end{array}\right]=\sigma\left(z^{[1]}\right)a[1]=a1[1]a2[1]a3[1]a4[1]=σ(z[1])
在这里插入图片描述

  • 输入一个样本的特征向量,四行代码计算出一个简单神经网络的输出,那么多个样本呢?往下看

4. 多样本向量化

对于 m 个样本,(i)表示第i个样本

z[1](i)=W[1](i)x(i)+b[1](i)a[1](i)=σ(z[1](i))z[2](i)=W[2](i)a[1](i)+b[2](i)a[2](i)=σ(z[2](i))\begin{aligned} z^{[1](i)} &=W^{[1](i)} x^{(i)}+b^{[1](i)} \\ a^{[1](i)} &=\sigma\left(z^{[1](i)}\right) \\ z^{[2](i)} &=W^{[2](i)} a^{[1](i)}+b^{[2](i)} \\ a^{[2](i)} &=\sigma\left(z^{[2](i)}\right) \end{aligned}z[1](i)a[1](i)z[2](i)a[2](i)=W[1](i)x(i)+b[1](i)=σ(z[1](i))=W[2](i)a[1](i)+b[2](i)=σ(z[2](i))

  • 为了向量化计算,进行堆叠
    x=[⋮⋮⋮⋮x(1)x(2)⋯x(m)⋮⋮⋮⋮]x=\left[\begin{array}{cccc}\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x^{(1)} & x^{(2)} & \cdots & x^{(m)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\end{array}\right]x=x(1)x(2)x(m)

Z[1]=[⋮⋮⋮⋮z[1](1)z[1](2)⋯z[1](m)⋮⋮⋮⋮]Z^{[1]}=\left[\begin{array}{cccc}\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ z^{[1](1)} & z^{[1](2)} & \cdots & z^{[1](m)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\end{array}\right]Z[1]=z[1](1)z[1](2)z[1](m)

A[1]=[⋮⋮⋮⋮α[1](1)α[1](2)⋯α[1](m)⋮⋮⋮⋮]A^{[1]}=\left[\begin{array}{cccc}\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \alpha^{[1](1)} & \alpha^{[1](2)} & \cdots & \alpha^{[1](m)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\end{array}\right]A[1]=α[1](1)α[1](2)α[1](m)

z[1](i)=W[1](i)x(i)+b[1]α[1](i)=σ(z[1](i))z[2](i)=W[2](i)α[1](i)+b[2]α[2](i)=σ(z[2](i))}⟹{A[1]=σ(z[1])z[2]=W[2]A[1]+b[2]A[2]=σ(z[2])\left.\begin{array}{c}z^{[1](i)}=W^{[1](i)} x^{(i)}+b^{[1]} \\ \alpha^{[1](i)}=\sigma\left(z^{[1](i)}\right) \\ z^{[2](i)=W^{[2](i)} \alpha^{[1](i)}+b^{[2]}} \\ \alpha^{[2](i)}=\sigma\left(z^{[2](i)}\right)\end{array}\right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} A^{[1]}=\sigma\left(z^{[1]}\right) \\ z^{[2]}=W^{[2]} A^{[1]}+b^{[2]} \\ A^{[2]}=\sigma\left(z^{[2]}\right)\end{array}\right.z[1](i)=W[1](i)x(i)+b[1]α[1](i)=σ(z[1](i))z[2](i)=W[2](i)α[1](i)+b[2]α[2](i)=σ(z[2](i))A[1]=σ(z[1])z[2]=W[2]A[1]+b[2]A[2]=σ(z[2])

列向看,对应于不同的特征,就是神经网络中的该层的各个节点
行向看,对应于不同的训练样本

5. 激活函数

在这里插入图片描述

  • tanh激活函数是 sigmoid的平移伸缩结果,其效果在所有场合都优于sigmoidtanh几乎适合所有场合
  • 例外是,二分类问题的输出层,想让结果介于 0,1之间,所以使用 sigmoid 激活函数

tanhsigmoid两者的缺点:

  • 在特别大或者特别小 zzz 的情况下,导数的梯度 或者 函数的斜率变得特别小,最后就会接近于0,导致降低梯度下降的速度

  • 修正线性单元的函数(ReLu

激活函数的选择经验

  • 如果输出是0、1值(二分类问题),输出层 选择sigmoid函数,其它所有单元都选择Relu函数

  • 隐藏层通常会使用Relu激活函数。有时,也会使用tanh激活函数,但Relu的一个缺点是:当是负值的时候,导数等于0

  • 另一个版本的Relu被称为Leaky Relu,当是负值时,这个函数的值不等于0,而是轻微的倾斜,这个函数通常比Relu激活函数效果要好,尽管在实际中Leaky ReLu使用的并不多

ReLuLeaky ReLu的优点:

  • sigmoid函数需要进行浮点四则运算,在实践中,使用ReLu激活函数学习的更快

  • sigmoidtanh函数的导数在正负饱和区的梯度接近于0,这会造成梯度弥散,而ReluLeaky ReLu函数大于0部分都为常数,不会产生梯度弥散现象。(Relu进入负半区的时候,梯度为0,神经元此时不会训练,产生所谓的稀疏性,而Leaky ReLu不会有这问题)

  • 虽然ReLu的梯度一半都是0,但是,有足够的隐藏层使得 zzz 值大于0,所以对大多数的训练数据来说学习过程仍然可以很快

6. 为什么需要 非线性激活函数

线性隐藏层一点用也没有,因为线性函数的组合本身就是线性函数,所以除非你引入非线性,否则你无法计算出更有趣的函数,即使网络层数再多也不行

  • 不能在隐藏层用线性激活函数,可以用ReLUtanhleaky ReLU或者其他的非线性激活函数
  • 唯一可以用 线性激活函数的通常就是输出层;在隐藏层使用 线性激活函数非常少见

7. 激活函数的导数

  • sigmoid
    在这里插入图片描述
    a=g(z);g′(z)=ddzg(z)=a(1−a)a=g(z) ;\quad g^{\prime}(z)=\frac{d}{d z} g(z)=a(1-a)a=g(z);g(z)=dzdg(z)=a(1a)
  • tanh
    在这里插入图片描述

a=g(z);g′(z)=ddzg(z)=1−a2a=g(z) ; \quad g^{\prime}(z)=\frac{d}{d z} g(z)=1-a^2a=g(z);g(z)=dzdg(z)=1a2

  • ReLu Rectified Linear Unit
    在这里插入图片描述
    g′(z)={0if z<01if z>0undefinedif z=0g^{\prime}(z)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { if } z<0 \\ 1 & \text { if } z>0 \\ u n d e f i n e d & \text { if } z=0\end{array}\right.g(z)=01undefined if z<0 if z>0 if z=0
    z=0z=0z=0 时,可以让导数为 0,或者 1

  • Leaky ReLU Leaky linear unit
    在这里插入图片描述
    g′(z)={0.01if z<01if z>0undefinedif z=0g^{\prime}(z)=\left\{\begin{array}{ll}0.01 & \text { if } z<0 \\ 1 & \text { if } z>0 \\ u n d e f i n e d & \text { if } z=0\end{array}\right.g(z)=0.011undefined if z<0 if z>0 if z=0
    z=0z=0z=0 时,可以让导数为 0.01,或者 1

8. 随机初始化

对于一个神经网络,如果你把权重或者参数都初始化为0,那么梯度下降将不会起作用。

在这里插入图片描述

W[1]=np.random.randn(2,2)∗0.01,b[1]=np.zeros⁡((2,1))W[2]=np.random.randn(2,2)∗0.01,b[2]=0\begin{aligned} W^{[1]} &=n p . \text {random.randn}(2,2) * 0.01, \quad b^{[1]}=n p . z \operatorname{eros}((2,1)) \\ W^{[2]} &=n p . \text {random.randn}(2,2) * 0.01, \quad b^{[2]}=0 \end{aligned}W[1]W[2]=np.random.randn(2,2)0.01,b[1]=np.zeros((2,1))=np.random.randn(2,2)0.01,b[2]=0
常数为什么是0.01,而不是100或者1000,sigmoid/tanh 激活函数在很平坦的地方,学习非常慢

当你训练一个非常非常的神经网络,你可能要试试0.01以外的常数

作业

01.神经网络和深度学习 W3.浅层神经网络(作业:带一个隐藏层的神经网络)


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