qr分解求线性方程组_计算方法/数值分析第三章 线性方程组的数值解法

主要内容:

1、引言

2、高斯消去法

3、直接分解法

4、解线性方程组的迭代法

5、向量范数、矩阵范数及迭代法的收敛性

第一节 引言

用克拉姆求解线性方程组

第二节 高斯消去法

高斯消去法是一种古老的直接法,其基本思想是通过消元将线性方程组的求解问题转化成三角形式方程组的求解问题。

1、上三角形方程组

53db8b7d48da94eb3fb20e8f2d52bc5d.png

391bdcfe827f39d3cd1c22cd28430c04.png

则上方程组可以写成矩阵形式:

Ux=b

当 det(U) ≠0时,即aii≠0时,方程组有唯一解。

求解上述方程组:

502eca1860de9ec0173f7bf565d6f79a.png

838bab108cf0342491943e51c55b797d.png

一般地,假设已经求得xn,xn-1....xi+1,带入第i 个方程得到:

244b6bdf7696bdfdda3985c20e8481fd.png

b69648f50186e31ba1eca9b19cf73928.png

此过程称为回代过程。

2、回代过程的计算量

(1)乘除法运算次数

1c093d789ea59ba59d63718caa750b78.png

(2)加减法运算次数

e97a5072c3c46bf52719632f0fe387cd.png

c1b01a3d212a95fad29134295bd7ee7c.png

第二节 高斯消去法

1、高斯消去法:

59f5452cef9682d2c099a6fd37a887f7.png

对一般的n阶方程组,消去过程分n-1步:第一步消去a11下方元素,第二步消去a22下方元素,……,第n-1步消去an-1,n-1下方元素。

具体步骤如下:

第一步消元:

09eaa20dfedf94b3ca358d23d09ecbdf.png

第二步消元:

09eaa20dfedf94b3ca358d23d09ecbdf.png

96c7955f2acee35b6d92541f7d8a9cc5.png

.........

.........

k步消元:

727886d39ee2815417ec013db018e329.png

n-1步后:

c1c1eb1927c8fa2a13509c3d66b7324c.png

2055c1167f0ac44f9c0f916459ab702b.png

325fdd10de36becb8e6b4641aed45847.png

2.列主元高斯消去法

高斯消去法消去过程中,第k步求n-k个倍数用到的除数,称为主元。它若为零或接近于零,计算机将“溢出”而停止计算,或产生较大误差。

49c8e4671cf98d4e2d7078175e9a533e.png

准确到九位小数的解是x1=0.250 001 875,x2=0.499 998 749,若在4位计算机上按高斯消去法求解

4c5a03341cb174861eef61e60f3ef1bc.png

回代解得 x2=0.5, x1=0,显然严重失真。

造成这种结果的原因,就是小主元的出现。用它做除数产生大乘数,出现大数吃小数产生舍入误差

解决方法:为了避免出现小主元,可在第k步的第k列的元素 中选主元,即在其中找出绝对值最大的元素

然后交换第k和第p行,继续进行消去过程。交换行相当于改变方程顺序,不会影响原方程组的解。这种消去法称为列主元消去法。

8d073461ebfbb3e0120f620f48912f04.png

f55ceba7719fec24ff871935ac43c510.png

第三节、直接分解法

第四节、解线性方程组的迭代法

1、迭代法的基本思想

设有线性代数方程组:

a11 x1+a12 x2+····+a1n xn=b1

a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2

. . . . . .

an1x1+an2x2+····+annxn=bn

用矩阵表示: Ax =b

其中A 为系数矩阵,非奇异且设aii≠0;b为右端常数项,x为解向量

则方程组的一个等价变换为:x=Bx+f

任取初始向量x(0),按照下列公式构造迭代序列:

b71b967026e5b287e6599b9f5474f1f5.png

2、迭代公式:

b71b967026e5b287e6599b9f5474f1f5.png

迭代矩阵:B

3.不同的迭代矩阵构成不同的迭代法,介绍两种迭代法:

雅可比迭代法

高斯-赛德尔迭代法

4.雅可比迭代法

公式推导:

a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2

. . . . . .

an1x1+an2x2+····+annxn=bn

372aa798f8b3c4ee1515c81fedb0c1ee.png

016e80261247de9ebc2ee40e04601aa3.png

f68e240aff5d724f03d4c2858a95701b.png

e8b99da510205237957b5b349d671ccc.png

a291b20a556b341ca3046af491b4be8c.png

5.高斯-赛德尔迭代法

88199d6867f800243662687e0e20ed2d.png

第五节 向量范数、矩阵范数及迭代法收敛性

向量范数和矩阵范数是研究迭代法及其收敛性、估计方程组近似解的误差的一种有力工具。

1、向量范数

定义:(1)绝对值

范数的最简单的例子,是绝对值函数

99c7ad0a07164fdc4691cbd569b930ac.png

(2)范数的另一个简单例子是二维欧氏空间的长度

0965a5ccb49e7cd4e4298de4938f8229.png

(3)设x = (x1, x2,…, xn)T,则有:

——向量的1范数:

984189053bfcb1ed2bcf16ea12a8b7fa.png

——向量的2范数

fa9a5cb5e85b42347ab0e32bc35c7ace.png

——向量的无穷范数:

a4975e7a8033ddad98dbf11978f3504d.png

例题:

x=[1 2 3]T,求x的1范数,2范数和无穷范数

解:根据定义可以得到:

56f2504c6abd020e351f15f15771e081.png

b76f7dbcad72880ca168fec074737d19.png

689ef641f12446c5861d62570feed06e.png

2、矩阵范数

定义:

对于任意n 阶方阵A,按一定的规则有一实数与之对应,记为||A||,若||A||满足:

(1)正定:

50fc51fe2824b8345f07e64a371df224.png

(2)

8f2fde1bc171dce6e994af31161b0919.png

(3)

2c32de34a98e889a673fd953ba5a6161.png

则||A||称为矩阵A的范数

矩阵范数与向量范数的相容性

对于任意的n 维向量x,都有:

1b594259a7a37eac9facc4180c13d41e.png

这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。

常用的矩阵范数:

990144e2ad33a20cb93475ffcc76c916.png

f0e50ab0a7a717b008797a845552add1.png

3fec446ab287be9541d5f93764d3cfb9.png

0827d0c1302c626a5bf71fe67e627a27.png

26d6c1dce774655496d9813cc3edbe33.png

注释:矩阵B的特征值表示为

603d8e44feb1722ae3ed2d8b20552238.png

则特征值的最大绝对值称为B的谱半径,记为:

597f57f2216f0dccc8bb5b3a02002ed0.png

则矩阵的2范数其实为AAT的谱半径的平方根。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/472181.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

python 执行完成后,cmd窗口自动关闭

一般脚本运行完需要点击一下 在代码最后添加以下内容即可自动关闭cmd: import os import time time.sleep(1) # 方便展示,可删除 os.system("taskkill /f /im cmd.exe") # 关闭cmd窗口

txt文件可存储最大值_Verilog边码边学:十六进制文件读取$readmemh

系统任务$readmemh读取十六进制文件。$readmemh的作用是将文件中的数据一次性的读入某个数组中,然后可以依次从数组中取出单个的数据进行处理。读取的内容只包括空白位置(空格、换行、制表格)、注释行、十六进制的数字。语法结构中的起始地址与终止地址可省略。【语…

什么叫诚实_他爱不爱你,身体最诚实

文字:嘉一 声音:三三有位听友给我发私信说:“他看我的眼神变了,也不喜欢和我说话了,更懒得为我做任何事了,这段感情真的没意思了。”我回她:“一个人爱不爱你,身体最诚实。嘴巴可以…

【机器学习-数据科学】第一节:numpypandas

numpy&pandas安装numpy&pandasarray创建numpy的基础运算numpy的索引numpy的 array 合并numpy的 array分割numpy的 copy & deep copy安装numpy&pandas import numpy as np arraynp.array([[1,2,3],[2,3,4]])# 将数组转化为矩阵 print(array) #打印矩阵 print(nu…

【机器学习-数据科学】第二节:ipython开发环境搭建以及pandas快速入门

ipython开发环境搭建以及pandas快速入门0.开发环境搭建技巧网页版ipython:ipython notebooknumpy1.pandas 快速入门一导入创建对象2. pandas 快速入门二空数据处理apply的用法count和mode函数数据合并3. pandas 快速入门三数据整形数据透视时间序列数据可视化数据载…

pytorch图像和张量的相互转换_Day107:Pytorch张量类型的构建与相互转换

张量的作用Pytorch的数据类型为各式各样的Tensor,Tensor可以理解为高维矩阵(与Numpy中的Array类似)通过使用Type函数可以查看变量类型。一CPU张量类型Pytorch中的tensor包括七种CPU张量类型和八种GPU张量类型,这里我们就只讲解一下CPU中的,GP…

漂亮的html页面源码_爬虫数据分析之html

1、 htmlhtml 不是一种编程语言,而是一种标记语言,是制作网页所必须的,你在浏览器里看到的每一个页面,不论简单还是复杂,都是用html编写的,包括你现在看到的这篇文章。用html写一个简单的页面,是…

LeetCode 1864. 构成交替字符串需要的最小交换次数

文章目录1. 题目2. 解题1. 题目 给你一个二进制字符串 s ,现需要将其转化为一个 交替字符串 。 请你计算并返回转化所需的 最小 字符交换次数,如果无法完成转化,返回 -1 。 交替字符串 是指:相邻字符之间不存在相等情况的字符串…

【机器学习-数据科学】第三节:数据分析实例 分析MovieLens电影数据

数据分析实例 分析MovieLens电影数据导入数据数据合并按性别查看各个电影的平均评分活跃电影排行榜电影投票数据 grouplens.org/datasets/movielens 把文件放到这个路径下 导入数据 数据合并 按性别查看各个电影的平均评分 查看男女评分差别最大的 按照diff去排序 找出分歧…

vue路由切换组件没有加载_Vue面试题: 如何实现路由懒加载?

非懒加载import List from /components/list.vue const router new VueRouter({routes: [{ path: /list, component: List }] })方案一(常用)const List () > import(/components/list.vue) const router new VueRouter({routes: [{ path: /list, component: List }] })方…

LeetCode 1865. 找出和为指定值的下标对(哈希)

文章目录1. 题目2. 解题1. 题目 给你两个整数数组 nums1 和 nums2 ,请你实现一个支持下述两类查询的数据结构: 累加 ,将一个正整数加到 nums2 中指定下标对应元素上。计数 ,统计满足 nums1[i] nums2[j] 等于指定值的下标对 (i,…

聚类算法 距离矩阵_快速且不需要超参的无监督聚类方法

论文: Efficient Parameter-free Clustering Using First Neighbor RelationsEfficient Parameter-free Clustering Using First Neighbor Relations​arxiv.org代码:https://github.com/ssarfraz/FINCH-Clustering​github.com此文是CVPR2019的oral文章…

服务器不知别内存_图文版 许迎果第63期 选购和使用内存需要注意的点

其实要说清楚内存的方方面面还是要颇费一番功夫的.内存的起源和发展历程估计要讲一期,内存厂商,颗粒,品牌也需要单独讲一期,内存超频也要单独讲一期.内存看似简单,但要说的内容却是很多的.所以为了节省各位小伙伴的时间,我会尽量精简,只讲对大多数人都比较实用的部分.本期大体上…

LeetCode 1877. 数组中最大数对和的最小值(贪心)

文章目录1. 题目2. 解题1. 题目 一个数对 (a,b) 的 数对和 等于 a b 。最大数对和 是一个数对数组中最大的 数对和 。 比方说,如果我们有数对 (1,5) ,(2,3) 和 (4,4),最大数对和 为 max(15, 23, 44) max(6, 5, 8) 8 。 给你一个长度为 偶…

小程序多个echars_小程序界面与逻辑

主要内容数据绑定、渲染、界面层数据渲染和事件处理。一、数据绑定1.1 渲染层和逻辑层小程序宿主环境我们称微信客户端给小程序所提供的环境为宿主环境。小程序借助宿主环境提供的能力,可以完成许多普通网页无法完成的功能。小程序开发框架的目标是通过尽可能简单、…

LeetCode 1876. 长度为三且各字符不同的子字符串

文章目录1. 题目2. 解题1. 题目 如果一个字符串不含有任何重复字符,我们称这个字符串为 好 字符串。 给你一个字符串 s ,请你返回 s 中长度为 3 的 好子字符串 的数量。 注意,如果相同的好子字符串出现多次,每一次都应该被记入…

numpy维度交换_数据分析-gt;基本操作numpy(1)

1.Numpy介绍与安装Numpy是什么?Numpy(Numerical Python)是目前Python数值计算中最为重要的基础包。大多数计算包都提供了基于Numpy的科学函数功能,将Numpy的数组对象作为数据交换的通用语。Numpy特点提供高效多维数组提供了基于数组的便捷算术操作以及广…

C#学习记录3上——类的封装,继承,多态

OOP面向对象的三大特点:封装(encapsulation),继承(inheritance),多态(encapsulation) 和JAVA与C一样,C#也是OOP语言。并且,C#对数据的封装要比C更…

LeetCode 1878. 矩阵中最大的三个菱形和(模拟)

文章目录1. 题目2. 解题1. 题目 给你一个 m x n 的整数矩阵 grid 。 菱形和 指的是 grid 中一个正菱形 边界 上的元素之和。 本题中的菱形必须为正方形旋转45度,且四个角都在一个格子当中。 下图是四个可行的菱形,每个菱形和应该包含的格子都用了相应颜…

计算尖峰电流的目的_入门必看!负荷计算的目的、方法以及原则详解

感谢关注【易筑电气】,我们会定期为您推送最新的电气资讯和各类实用干货,欢迎有料的电气设计师加入我们的QQ交流群:571819142。想了解我们的线上讲师招募计划?添加QQ:3335847624 开启新世界~负荷计算目的和意义低压供配…