主要内容:
1、引言
2、高斯消去法
3、直接分解法
4、解线性方程组的迭代法
5、向量范数、矩阵范数及迭代法的收敛性
第一节 引言
用克拉姆求解线性方程组
第二节 高斯消去法
高斯消去法是一种古老的直接法,其基本思想是通过消元将线性方程组的求解问题转化成三角形式方程组的求解问题。
1、上三角形方程组
则上方程组可以写成矩阵形式:
Ux=b
当 det(U) ≠0时,即aii≠0时,方程组有唯一解。
求解上述方程组:
一般地,假设已经求得xn,xn-1....xi+1,带入第i 个方程得到:
此过程称为回代过程。
2、回代过程的计算量
(1)乘除法运算次数
(2)加减法运算次数
第二节 高斯消去法
1、高斯消去法:
对一般的n阶方程组,消去过程分n-1步:第一步消去a11下方元素,第二步消去a22下方元素,……,第n-1步消去an-1,n-1下方元素。
具体步骤如下:
第一步消元:
第二步消元:
.........
.........
第k步消元:
第n-1步后:
2.列主元高斯消去法
高斯消去法消去过程中,第k步求n-k个倍数用到的除数,称为主元。它若为零或接近于零,计算机将“溢出”而停止计算,或产生较大误差。
准确到九位小数的解是x1=0.250 001 875,x2=0.499 998 749,若在4位计算机上按高斯消去法求解
回代解得 x2=0.5, x1=0,显然严重失真。
造成这种结果的原因,就是小主元的出现。用它做除数产生大乘数,出现大数吃小数产生舍入误差
解决方法:为了避免出现小主元,可在第k步的第k列的元素 中选主元,即在其中找出绝对值最大的元素
然后交换第k和第p行,继续进行消去过程。交换行相当于改变方程顺序,不会影响原方程组的解。这种消去法称为列主元消去法。
第三节、直接分解法
第四节、解线性方程组的迭代法
1、迭代法的基本思想
设有线性代数方程组:
a11 x1+a12 x2+····+a1n xn=b1
a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2
. . . . . .
an1x1+an2x2+····+annxn=bn
用矩阵表示: Ax =b
其中A 为系数矩阵,非奇异且设aii≠0;b为右端常数项,x为解向量
则方程组的一个等价变换为:x=Bx+f
任取初始向量x(0),按照下列公式构造迭代序列:
2、迭代公式:
迭代矩阵:B
3.不同的迭代矩阵构成不同的迭代法,介绍两种迭代法:
雅可比迭代法
高斯-赛德尔迭代法
4.雅可比迭代法
公式推导:
a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2
. . . . . .
an1x1+an2x2+····+annxn=bn
5.高斯-赛德尔迭代法
第五节 向量范数、矩阵范数及迭代法收敛性
向量范数和矩阵范数是研究迭代法及其收敛性、估计方程组近似解的误差的一种有力工具。
1、向量范数
定义:(1)绝对值
范数的最简单的例子,是绝对值函数
(2)范数的另一个简单例子是二维欧氏空间的长度
(3)设x = (x1, x2,…, xn)T,则有:
——向量的1范数:
——向量的2范数
——向量的无穷范数:
例题:
设x=[1 2 3]T,求x的1范数,2范数和无穷范数
解:根据定义可以得到:
2、矩阵范数
定义:
对于任意n 阶方阵A,按一定的规则有一实数与之对应,记为||A||,若||A||满足:
(1)正定:
(2)
(3)
则||A||称为矩阵A的范数
矩阵范数与向量范数的相容性
对于任意的n 维向量x,都有:
这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。
常用的矩阵范数:
注释:矩阵B的特征值表示为
则特征值的最大绝对值称为B的谱半径,记为:
则矩阵的2范数其实为AAT的谱半径的平方根。