01 向量空间

1.1定义和例子

1.2向量及其运算

1.3向量组的线性组合

1.4向量组的线性相关性

02 内积和范数

2.1内积的定义

2.2范数的定义

2.3内积的几何解释

03矩阵和线性变换

3.1定义和例子

3.2线性变换

线性空间中的运动，被称为线性变换。线性空间中的一个向量变成另一个同量，都可以通过一个线性变换来完成。

线性变换也可以对空间中所有的向量进行，比如把二维空间中的所有向量想象成填满空间的点：


下面哪个空间里的变换属于线性变换呢？第4张图，即右下角的图片
线性变换需要满足两点：

1. 坐标原点不发生改变
2. 箭头的形状不发生改变，即不被弯曲
   
   总的来说，空间中的变换如果满足“空间中网格线保持平行而且等距分布，原点保持不变”，那这种变换就叫线性变换。

3.3线性变换的数值描述——矩阵

在一个线性空间中，选定一组基向量，将变换之后的基向量的数值列表放在一个矩阵里，那么这个矩阵就可以代表这个线性变换。

例子：

3.4矩阵的运算

矩阵的加法和矩许的数乘留给大家思考。
矩阵和向量的乘法，木质上是对向量在空间上进行线性变换：

3.5矩阵的转置

3.6矩阵的行列式

3.7逆矩阵

3.8求解线性方程组

04 特征值和特征向量

4.1定义和例子

几何上
特征向量就是线性变换后还留在原来直线上的向量；特征值就是特征向量的缩放系数。

特征值、特征向量的意义：


由上图可知，可以通过特征值和特征向量直接知道这个矩阵在经过线性变换后是什么样子的

有一类非常特殊的矩阵—对角矩阵，这个矩阵里的每一个列向量都是特征向量，特征值就是对角线上的值：

4.2对称矩阵和正定矩阵

4.3相似矩阵和对角化

05二次型

5.1定义和例子

06 本章要点总结

向量空间是定义了加法和数乘这两种运算的集合卡

1. 范数定义了向量空间中的距离，内积定义了向量空间里的角度
2. 线性变换描述了向量在空间里的变化·矩阵就是空间中线性变换的数值表示
3. 矩阵的行列式代表矩阵对应的线性变换后的面积（二维实数空间中）
4. 逆矩阵对应一个矩阵在空间里变换的反运动
5. 矩阵的特征值和特征向量描述了线性变换的速度和方向
6. 线代里的二次型，就是通过一个对称矩阵，去研究某个二次型。

07 推荐资料

1. 《工程数学线性代数》高等教育出版社
2. 线性代数的本质《中文字幕》
3. 公众号《马同学高等数学》里有关线性代数的文章
4. 《理解矩阵》by孟岩