二项逻辑回归模型
既然logistic回归把结果压缩到连续的区间(0,1)，而不是离散的0或者1，然后我们可以取定一个阈值，通常以0.5为阈值，如果计算出来的概率大于0.5，则将结果归为一类（1），如果计算出来的概率小于0.5，则将结果归为另一类（0），用分段函数写出来便是
这样逻辑回归就可以用来进行2分类了，假设数据结构如下
其中m表示样本个数，n表示影响因数的个数，yi(i=0,1,⋯ ,m)取0或者1。现在我们结合数据，利用条件概率分布模型给出基于概率的二项logistic模型如下：
其中，X表示自变量，y表示因变量所属的类别，θ为模型待求的参数，模型解释为在特定的因素下，模型结果取1的概率和取0的概率。模型建好了，接下来就需要进行机器训练，而怎么来给训练一种恰当反馈呢？答案是损失函数，通过损失函数来评估模型学习的好坏和改进机制。
损失函数
机器学习或者统计机器学习常见的损失函数如下：
1.0-1损失函数（0-1 loss function）
2.平方损失函数（quadratic loss function)
3.绝对值损失函数(absolute oss function)
4.对数损失函数(logarithmic loss function)或对数似然损失函数(log - like hood loss function)
逻辑回归中，采用的则是对数损失函数。如果损失函数越小，表示模型越好。
说说对数损失函数与平方损失函数
在逻辑回归的推导中，我们假设样本是服从伯努利分布(0-1分布)的，然后求得满足该分布的似然函数，最终求该似然函数的极大值。整体的思想就是求极大似然函数的思想。而取对数，只是为了方便我们的在求MLE(Maximum Likelihood Estimation)过程中采取的一种数学手段而已。
由前面阈值的取定原则，我们知道相当于我们用一个类别值代替概率值，而类别值是sigmoid函数的两个最值，概率不可能时时刻刻都取到最值，这势必会造成误差，我们把这种误差称为损失，为了给出损失函数表达式，我们假设模型第i个样本所求的概率值为Pi，而真实类别值可能是0或者1。
当类别真实值是1的情况下:
所求的概率值pi越小，越接近0，被划为类别0的可能性越大，被划为类别1的可能性越小，导致的损失越大。
所求的概率值pi越大，越接近1，被划为类别1的可能性越大，被划为类别0的可能性越小，导致的损失越小。我们用下面的函数来描述这种变化关系
其中pi∈(0,1)，其图像大致如下
当类别真实值是0的情况下:
所求的概率值pi越大，越接近1，其结果的类别判定更偏向于1，导致的损失越大。
所求的概率值pi越小，越接近0，其结果的类别判断更偏向于0，导致的损失越小。我们用下面的函数来描述这种变化关系
其中pi∈(0,1)，其图像大致如下
------------------------ ---------- ---------- 分割线内容，hθ等于Pi --------------------------------
根据上面的内容，我们可以得到逻辑回归的对数似然损失函数cost function：
当y=1时，假定这个样本为正类：
①如果此时预测的概率hθ(x)=1 ,则单对这个样本而言的cost=0,表示这个样本的预测完全准确。那如果所有样本都预测准确，则总损失total_cost=0
②如果此时预测的概率hθ(x)=0，那么单对这个样本而言的cost→∞。也就是说预测y=1的概率为0，那么此时就要对损失函数加一个很大的惩罚项。
当y=0时，推理过程跟上述完全一致，不再累赘。
将以上两个表达式合并为一个，则单个样本的损失函数可以描述为：
| 梯度下降的原理 由上述可知在单个样本中，其损失函数为：
现在问题就转化为一个无约束优化问题，即我们找出最小的θ，使得costfunction达到最小。而在无约束优化问题中，最重要最基本的方法莫过于梯度下降了。 梯度下降的过程：
|
现在就要把两种情况结合起来并且绘制成全样本的损失函数，就不需要分真实值是1还是0两种情况讨论，求出其期望值，做成一个交叉熵(cross entropy)的全体样本的损失函数如下：
因为yi只有两种取值情况1或0，分别令y=1或y=0，即可得到原来的分段表示式。
其中yi表示第i个样本的真实值，pi或者hθ(x)是根据模型计算出来的概率值。
当yi=1时，costi=−log(pi)，yi=0时，costi=−log(1−pi)，这符合前面两种情况。
假设现在有m个样本，总体的损失函数为
上式即为二项逻辑回归的损失函数，是一个关于参数θ和X的二元函数，也叫对数似然函数，现在问题转化为以对数似然函数为目标函数的最优化问题，其中θ为模型待求的参数，为了求参数θ，可以对目标函数求偏导数，记
| 对L(X∣θ)求关于θ的偏导，主要是里面对数函数关于θ的偏导数求解
|
--------------------------------------------------------分割线内容中hθ等于Pi-------------------------------------
logistic回归模型的应用
既然logistic回归主要用来二分类，用logistic回归模型二分类的场景，用logistic回归模型预测某件事情的发生概率，我们常见的logistic回归模型的应用场景有
(1)根据申请人的提供的资料，预测其违约的可能性大小，进而决定是否给其贷款。
(2)根据购买记录预测用户下一次是否会购买某件商品。
(3)舆论平台做情感分类器。如根据某网友对某些特定主题的历史评论数据，预测其下次对某类型的主题是否会给出正面的评论。
(4)在医疗领域，根据病人症状，预测其肿瘤是良性的还是恶性的。
(5)根据CT，流行病学，旅行史，检测试剂结果等特点预测某位疑似病人是否真感染新型冠状病毒。
(6)在精准营销领域，预测某个产品的收益。
logistic回归模型的评价
从logistic回归的数学原理，在阈值取定的时候一刀切的做法上面，我们能够根据logistic回归的这些特点给出模型优缺点评价
优点：
1、原理简单，模型清晰，操作高效，背后的概率的推导过程经得住推敲，在研究中，通常以Logistic回归模型作为基准，再尝试使用更复杂的算法，可以在大数据场景中使用。
2、使用online learning的方式更新轻松更新参数，不需要重新训练整个模型
3、基于概率建模，输出值落在0到1之间，并且有概率意义
4、求出来的参数θi代表每个特征对输出的影响，可解释性强
5、解决过拟合的方法很多，如L1、L2正则化，L2正则化就可以解决多重共线性问题
缺点：
1、对数据依赖性强，需要做特征工程，主要用来解决线性可分问题
2、Logistic回归模型本质上是一个线性的分类器，处理不好特征之间相关的情况，对模型中自变量多重共线性较为敏感，例如两个高度相关自变量同时放入模型，可能导致较弱的一个自变量回归符号不符合预期，符号被扭转，正好变负号。
3、logit变换过程是非线性的，在两端随着变化率微乎其微，而中间的变化很大，很敏感。导致很多区间的变量变化对目标概率的影响没有区分度，很难确定阀值。
4、当特征空间很大时，性能不好
5、容易欠拟合，精度不高
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logistic模型原理与推导过程分析（1）_LiBiGor的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/qq_39237205/article/details/121031296
logistic模型原理与推导过程分析（2）_LiBiGor的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/qq_39237205/article/details/121031899
logistic模型原理与推导过程分析（2）_LiBiGor的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/qq_39237205/article/details/121031899
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