附录：迭代公式向量化

        θ相关的迭代公式为：

​

        如果按照此公式操作的话，每计算一个θ需要循环m次。为此，我们需要将迭代公式进行向量化。

首先我们将样本矩阵表示如下：

将要求的θ也表示成矩阵的形式：

将x·θ的乘积记为A，有：

将hθ(x)−y记为E:

由上面的式子可以看出，g(A)的参数是一个m*1的矩阵，或者说是一个列向量。如果我们设计函数g的时候，支持传入一个列向量，并返回一个列向量，则hθ(x)−y可以一次计算得到结果。

附录2：批量梯度下降BGD与随机梯度SGD下降

 对于迭代公式

最大的好处就是形式简单明了，直接将样本矩阵与残差矩阵带入迭代即可。而且这种方式是将所有的训练样本代入，最终所求得的解也是全局最优解，求解出来的参数将使损失函数最小。如果将所有样本矩阵带入进行计算，这就是所谓的批量梯度下降(BGD)。

        但在实际应用场景中，最大的问题就是样本矩阵大到放不进内存，导致进行一轮迭代需要的运算时间非常长，这个时候，批量梯度下降就不是那么好用了。这个时候，我们可以采用考虑随机梯度下降(SGD)。

        BGD是一次训练带入所有样本，SGD则是每来一次样本进行一次计算：

                                                                i表示是第i个样本，j表示样本第j个维度。

        SGD是通过每个样本来迭代更新。如果样本的数量很多，有可能才迭代了一小部分样本，就已经得到了θ的解。所以SGD的收敛速度可能比BGD要快，而且运算量小。但是SGD的问题是每次迭代并不是全局最优解的方向，尤其是遇到噪声数据，影响会比较大。有的时候SGD在最优解附近会存在比较明显的锯齿震荡现象，即损失函数的值会在最优解附近上下震荡一段时间才最终收敛。
 

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