算法入门篇二 认识O(NlogN)的排序

递归

例子引出

  • 使用递归的方法求出数组中的最大值（利用的是栈）
  • 求中点的方法改进
mid = (left + right) / 2  //但是如果left和right的数很大，相加会造成内容溢出
改进为 mid = left + (right - left) / 2  //(right - left)得到整个的长度，除以2之后，再加上左边的点，就可以得到中点的位置
改进为 mid = left + (right - left) >> 1 //使用位运算，加快计算速度

代码 

package com.example.demo.class01;public class Code08_GetMax {public static void main(String[] args) {int arr[] = {1,2,4,3,2,8,6};int c = 0;c = getMax(arr);System.out.println(c);}public static int getMax(int[] arr){if(arr == null || arr.length == 0){System.out.println("输入数组不合理");}return process(arr,0,arr.length - 1);}public static int process(int[] arr,int L,int R){if(L == R){return arr[L];} //arr[L..R]只有一个数的时候，直接返回，base caseint mid = L + ((R - L)>>1);int leftMax = process(arr,L,mid);int rightMax = process(arr,mid+1,R);return Math.max(leftMax,rightMax);}
}
//8

master公示的使用

  • 用于分析递归，用于解决 子问题规模 是一致的问题
T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)1,log(b,a) > d -> 复杂度为O(N^log(b,a))
2,log(b,a) = d -> 复杂度为O(N^d * logN)
3,log(b,a) < d -> 复杂度为O(N^d)

归并排序

  • 整体就是一个简单排序，左边排好顺序，右边排好顺序，使整体有序
  • 时间复杂度是O(N*logN)
  • 额外复杂度是O(N)

  • 代码

package com.example.demo.class01;import java.util.Arrays;public class MergeSort {public static void mergeSort(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return;}process(arr, 0, arr.length - 1);}public static void process(int[] arr, int L, int R) {if (L == R) {return;}int mid = L + ((R - L) >> 1);process(arr, L, mid);process(arr, mid + 1, R);merge(arr, L, mid, R);}public static void merge(int[] arr, int L, int M, int R) {int[] help = new int[R - L + 1];int i = 0;int p1 = L;int p2 = M + 1;while (p1 <= M && p2 <= R) {help[i++] = arr[p1] <= arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];}while (p1 <= M) {help[i++] = arr[p1++];}while (p2 <= R) {help[i++] = arr[p2++];}for (i = 0; i < help.length; i++) {arr[L + i] = help[i];}}// for testpublic static void comparator(int[] arr) {Arrays.sort(arr);}// for testpublic static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());}return arr;}// for testpublic static int[] copyArray(int[] arr) {if (arr == null) {return null;}int[] res = new int[arr.length];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {res[i] = arr[i];}return res;}// for testpublic static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {return false;}if (arr1 == null && arr2 == null) {return true;}if (arr1.length != arr2.length) {return false;}for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {if (arr1[i] != arr2[i]) {return false;}}return true;}// for testpublic static void printArray(int[] arr) {if (arr == null) {return;}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}System.out.println();}// for testpublic static void main(String[] args) {int testTime = 500000;int maxSize = 100;int maxValue = 100;boolean succeed = true;for (int i = 0; i < testTime; i++) {int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);int[] arr2 = copyArray(arr1);mergeSort(arr1);comparator(arr2);if (!isEqual(arr1, arr2)) {succeed = false;printArray(arr1);printArray(arr2);break;}}System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);printArray(arr);mergeSort(arr);printArray(arr);}}

小和问题

  • 定义：在一个数组中，每一个数比前数小的数进行累加，叫做这个数的小和。
  • 转化为 （右边大于我的个数 * 我本身大小） 累加和，这个数值和小和得到的数据一致

  • res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;p1指向左边的数，p2指向右边的数，r是右边部分最右边的边界。r-p2 +1 得到比当前左边元素大的个数 ，再乘以当前元素本身；将所有元素按照上述流程进行，最后就得到了小和

  • 例子：【1，3，4，2，5】，1左边比1小的数：无；3左边比3小的数：1；4左边比4小的数：1，3；2左边比2小的数：1；5左边比5小的数：1，3，4，2；累加求和：16

使用归并排序解决小和问题

  • 归并排序，遇到相同的元素，先移动左侧，是为了保证程序的稳定性；而这里先移动右侧的元素，是为了确定比左侧指针指向的元素大的右侧区块中的元素的个数
  • 小和问题出现在三个地方：左侧区块内排序；右侧区块内排序；左右侧区块合并

代码

package class02;public class Code02_SmallSum {public static int smallSum(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return 0;}return process(arr, 0, arr.length - 1);}// arr[L..R]既要排好序，也要求小和public static int process(int[] arr, int l, int r) {if (l == r) {return 0;}int mid = l + ((r - l) >> 1);return process(arr, l, mid) + process(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);}public static int merge(int[] arr, int L, int m, int r) {int[] help = new int[r - L + 1];int i = 0;int p1 = L;int p2 = m + 1;int res = 0;while (p1 <= m && p2 <= r) {res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];}while (p1 <= m) {help[i++] = arr[p1++];}while (p2 <= r) {help[i++] = arr[p2++];}for (i = 0; i < help.length; i++) {arr[L + i] = help[i];}return res;}// for testpublic static int comparator(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return 0;}int res = 0;for (int i = 1; i < arr.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {res += arr[j] < arr[i] ? arr[j] : 0;}}return res;}// for testpublic static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());}return arr;}// for testpublic static int[] copyArray(int[] arr) {if (arr == null) {return null;}int[] res = new int[arr.length];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {res[i] = arr[i];}return res;}// for testpublic static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {return false;}if (arr1 == null && arr2 == null) {return true;}if (arr1.length != arr2.length) {return false;}for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {if (arr1[i] != arr2[i]) {return false;}}return true;}// for testpublic static void printArray(int[] arr) {if (arr == null) {return;}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}System.out.println();}// for testpublic static void main(String[] args) {int testTime = 500000;int maxSize = 100;int maxValue = 100;boolean succeed = true;for (int i = 0; i < testTime; i++) {int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);int[] arr2 = copyArray(arr1);if (smallSum(arr1) != comparator(arr2)) {succeed = false;printArray(arr1);printArray(arr2);break;}}System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");}}
  • 类似于逆序对问题：如果左边的数比右边的数大，则二者构成一个逆序对，原理类似
  • res += arr[p1] > arr[p2] ? (m - p1 +1) : 0;

荷兰国旗问题

  • 快速排序 
  • 给定数组arr和数num，将小于等于num的数放在数组的左边，大于num的数放在数组的右边，要求时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1);不要求内部有序

  • 将数组分为三个部分，以num为界限，分为小于等于区、大于区和待定区。指针指向数组的第一个元素，判定指针指向的元素是否小于等于num，如果成立当前数和小于等于区的下一个数交换，然后小于等于区向右移动，指针也向右移动
  • 如果指针指向的元素大于num，那么指针直接跳过该元素，向右移动。
package class02;public class Code05_NetherlandsFlag {public static int[] partition(int[] arr, int l, int r, int p) {int less = l - 1;int more = r + 1;while (l < more) {if (arr[l] < p) {swap(arr, ++less, l++);} else if (arr[l] > p) {swap(arr, --more, l);} else {l++;}}return new int[] { less + 1, more - 1 };}// for testpublic static void swap(int[] arr, int i, int j) {int tmp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = tmp;}// for testpublic static int[] generateArray() {int[] arr = new int[10];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {arr[i] = (int) (Math.random() * 3);}return arr;}// for testpublic static void printArray(int[] arr) {if (arr == null) {return;}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}System.out.println();}public static void main(String[] args) {int[] test = generateArray();printArray(test);int[] res = partition(test, 0, test.length - 1, 1);printArray(test);System.out.println(res[0]);System.out.println(res[1]);}
}

第二个问题

  • 荷兰国旗问题：给定数组arr和数num，将小于等于num的数放在数组的左边，等于num的数放在数组的中间，大于num的数放在数组的右边，要求时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)

  • 将数组分为三个部分，小于区、中间区和大于区。
  • 首先用指针指向数组的第一个元素，如果当前指向的数小于num，则小于区下一个元素和当前数值侧面交换，小于区域向右边扩，指针向右边移动
  • 如果当前指针指向的元素和num相等，那么指针直接跳过，移动到下一个位置
  • 如果当前指针指向的元素大于num，那么大于区的前一个元素和当前指针指向的元素交换，大于区域向左边扩展，但是当前指针不可以移动位置，因为，交换了元素，不知道这个交换元素和num的大小
package class02;import java.util.Arrays;public class Code06_QuickSort {public static void quickSort(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return;}quickSort(arr, 0, arr.length - 1);}public static void quickSort(int[] arr, int l, int r) {if (l < r) {swap(arr, l + (int) (Math.random() * (r - l + 1)), r);int[] p = partition(arr, l, r);quickSort(arr, l, p[0] - 1);quickSort(arr, p[1] + 1, r);}}public static int[] partition(int[] arr, int l, int r) {int less = l - 1;int more = r;while (l < more) {if (arr[l] < arr[r]) {swap(arr, ++less, l++);} else if (arr[l] > arr[r]) {swap(arr, --more, l);} else {l++;}}swap(arr, more, r);return new int[] { less + 1, more };}public static void swap(int[] arr, int i, int j) {int tmp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = tmp;}// for testpublic static void comparator(int[] arr) {Arrays.sort(arr);}// for testpublic static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {//l到r随机选一个数做等概率划分 ，最差情况发生概率下降int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());}return arr;}// for testpublic static int[] copyArray(int[] arr) {if (arr == null) {return null;}int[] res = new int[arr.length];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {res[i] = arr[i];}return res;}// for testpublic static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {return false;}if (arr1 == null && arr2 == null) {return true;}if (arr1.length != arr2.length) {return false;}for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {if (arr1[i] != arr2[i]) {return false;}}return true;}// for testpublic static void printArray(int[] arr) {if (arr == null) {return;}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}System.out.println();}// for testpublic static void main(String[] args) {int testTime = 500000;int maxSize = 100;int maxValue = 100;boolean succeed = true;for (int i = 0; i < testTime; i++) {int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);int[] arr2 = copyArray(arr1);quickSort(arr1);comparator(arr2);if (!isEqual(arr1, arr2)) {succeed = false;printArray(arr1);printArray(arr2);break;}}System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);printArray(arr);quickSort(arr);printArray(arr);}}
  • 快排的时间复杂度是 o(N*logN)

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