ccpc河北大学生程序设计竞赛dp小总结

近期题目来自校赛，赛前训练，省赛热身，河北ccpc正式比赛。

题目一：

题目描述：

由于第m个台阶上有好吃的薯条，所以薯片现在要爬一段m阶的楼梯.
薯片每步最多能爬k个阶梯，但是每到了第i个台阶，薯片身上的糖果都会掉落ai个，现在问你薯片至少得掉多少糖果才能得到薯条？

输入：

多组数据输入，每组数据第一行输入两个数字m(1<m<=1000),k(1<=k<m),接下来有m行，每一行输入ai(0<ai<=1000)，表示第i个台阶会掉落的糖果.

输出：

对于每组数据，输出至少要牺牲的糖果数.

样例输入

5 2
1 2 3 4 5
6 2
6 5 4 3 2 1

样例输出

9
9

分析：经过的数字全部加起来，为一个累加和，求最小累加和

递推关系：

定义f(n)为必须到第n个台阶的最少累加和

分析可以如何得到f(n)，我们通过跳一步，可以怎么跳到第n个台阶呢？

可以从第n-1个台阶跳到这里，可以n-2，n-3......n-k。

也就是说，

f(n)=an+min(f(n-1),f(n-2),......f(n-k))

必须到第n个台阶的最少累加和，就等于能跳到这里的所有位置中，最小的那个f()，跳过来（也就是加上本身）。

注意：前k个台阶可以从起点直接跳过来，贪心思想，经过任何多余的数字都不会是最优解。所以前k个f(n)直接赋值an.

也可以维持单调队列把时间降到线性，不过o(n*k)已经足够过了。

题目二：

题目描述：

JiangYu的小金库是一个三维立体的空间，大小为XYZ，里面每个位置都藏着各种价值的宝物，既然是宝物价值自然非同一般，可正可负。

可恶的花花得知了这一切，想要偷走其中的珍宝们。

可是Jiangyu的小金库安保措施十分严密，花花只有一次行动的机会，他决定偷走一个价值尽可能大的长方体区间。

那么他最大能偷走多少钱的宝物呢？

输入：

第一行给出三个正整数 X,Y,Z

第二行一个整数n，宝藏的数量

接下来n行，每行给出一个宝藏的位置xi，yi，zi，以及价值ci

保证宝藏位置不重复。（1 \leq X,Y,Z \leq 201≤X,Y,Z≤20)

（1 \leq n \leq X \times Y \times Z1≤n≤X×Y×Z)

（1 \leq xi \leq X1≤xi≤X)

（1 \leq yi \leq Y1≤yi≤Y)

（1 \leq zi \leq Z1≤zi≤Z)

（-1e9 \leq ci \leq 1e9−1e9≤ci≤1e9)

输出：

一个整数，最大的价值

样例输入

2 2 2
8
1 1 1 10
1 1 2 9
1 2 1 10
1 2 2 9
2 1 1 10
2 1 2 9
2 2 1 -1
2 2 2 10

样例输出

https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/82788866这个网址写了详细讲解哦。。。最好要看看

首先要明白一维最大子数组问题，设dp[n]的含义为必须以an结尾的数组中的最大和。

所以dp[n]就是，每一个以在n前面的结尾的最大值，加上an.

二维方法：转化为一维来做。枚举长度为原矩阵长度的所有矩阵。然后压成一维来做。

时间：

因为有n个开头，每个开头有n-1,n-2......1个结尾，所以枚举的时间复杂度为o(n^2)。

为了节省时间，利用预处理数组思想，定义长宽和原矩阵一样的矩阵gg。

每列满足第n列k行的值为sum(l[0][n]+l[1][n]....l[k][n]),可以o(n*m)做到(nm为长宽).然后枚举到某矩阵的时候直接根据gg得出。整体做到o(n^2)枚举并求和。然后按一维做。整体o(n^3)

三维：并没有什么高大上的优化，也是枚举每一个长宽固定的长方体，压缩至二维，然后按二维做。

题目三：

热身赛，并没有原题，手打。

过的队伍不多

一种动物，出生到死亡只有三年，即n年出生，n+3年死去。

出生一年以后可以生育，也就是n+1年开始生育，一年可以生一只宝宝。

定义第n年动物总数为an，给定n，返回an/a(n-1)，最多保存小数点后十位

第一年有一只

思路一：定义f(n)为第n年新出生的动物个数，则f(n)=f(n-1)+f(n-2),前两项为1，而每年的总数也就是三项求和而已。

每年出生的数量为1，1，2，3，5，8，13，21

每年总数就是1，2，4，10，16，26，42

发现是斐波那契数列

思路二：直接从总数入手，定义f(n)为第n年的总数

如何求出an/a(n-1):要看有多少动物能活到n年，活不到n年的也不能在第n年生育，活到n年的动物每人生一个，所以an就是二倍的能活到n年的动物。求此数方法很多，在此只说一个：

f(n-1)-(1/2)f(n-3)

去年的数量减去，去年还活着的今年就死了的数量。

这个数乘二，得出答案f(n)=2f(n-1)-f(n-3),其实本质还是斐波那契，因为f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)，带入以后发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

式子写出来了，但是原题数据范围是10^1000，不能一项一项推过去。

尝试发现，几十项之后，an/a(n-1)的十位小数之内都没有变过，所以当数字较大时直接输出第五十项即可。

本题结束

但是还有点别的东西想写

斐波那契的美

万物之美，总能找到斐波那契数列的规律。随着n的增加，an/a(n-1)越来越接近黄金分割

手写了求解过程。可能写的不规范，但是就是表达这个意思。

只要数列满足X(n) = X(n-1) + X(n-2)，无论前两个值是多少，都满足黄金分割的条件，而斐波那契数列是最简单的特例：前两个元素均为1

数学家还发现了费马大定理和这个数列的关系(费马大定理的证明，三百五十年)，并应用到诸多领域（比如加密）。有兴趣自行了解。

题目四：

省赛，没有原题。十六支队伍过了这个题。

https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/79964233

参考我前面的文章，dp入门篇，那个会了这个就会。

参考萌新题

现场因为对c++不熟，没敢压空间，规规矩矩的写了一遍，还因为多打了一行罚了时，跟智障一样。。。

题目五

http://newoj.acmclub.cn/contests/1359/problem/6

题意：最长公共子序列，要求序列每个元素重复k次，比如1122重复两次，111222重复三次。

输入两个字符串和k，输出长度。

最长公共子序列的一个变形。。。

动态规划。设dp[i][j]表示a串处理到i位置，b串处理到j位置的答案。预处理出从a串i位置向前数，第k个与i位置数
字相同的位置p[i]，用相同方式处理出B串的q[i]。
则转移方程为dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-p[i]][j-q[j]]+1),其中第三种转移必须在a[i]=b[j]的情况下转移。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k,n,m,dp[1005][1005];
int a[1005],b[1005];
int pa[1005]={0},pb[1005]={0};
queue<int> q[1005];
int main()
{int ak; cin>>ak;while(ak--){for(int i=1;i<=n;i++)while(!q[i].empty()) q[i].pop();scanf("%d%d%d",&k,&n,&m);memset(dp,0,sizeof(dp));memset(pa,0,sizeof(pa));memset(pb,0,sizeof(pb));for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=m;i++) cin>>b[i];for(int i=1;i<=n;i++){q[a[i]].push(i);if(q[a[i]].size()==k){pa[i]=q[a[i]].front();q[a[i]].pop();}}for(int i=1;i<=n;i++)while(!q[i].empty()) q[i].pop();for(int i=1;i<=m;i++){q[b[i]].push(i);if(q[b[i]].size()==k){pb[i]=q[b[i]].front();q[b[i]].pop();}}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);if(a[i]==b[j] && pa[i]!=0 && pb[j]!=0)dp[i][j]=dp[pa[i]-1][pb[j]-1]+k;}}printf("%d\n",dp[n][m]);}return 0;
}

代码都是比赛时候写的，真的不想找来贴了。