曾在上课的时候多次遇到这个求一个问题的对偶形式，大多是硬套公式。记一次，忘一次。后来在苏大佬的博客中看到了相关阐述，感觉豁然开朗，（可以记得就一些了）遂做笔记记之。原文详见：https://spaces.ac.cn/archives/6280

在规划和优化问题中，对偶形式 是一个非常重要的概念。一般情况下，对偶是一种变换，能够将原问题转换成一个等价的，看起来几乎不一样的新问题：
$$原问题\stackrel{\text{对偶变换}}{⟶}对偶问题$$

线性规划的一般目标式为：
min⁡x{cTx∣Ax=b,x≥0}(1)\min_x\{c^Tx|Ax=b, \ x\ge0\}\tag{1}xmin​{cTx∣Ax=b, x≥0}(1)

在离散化情况下，$x,c\in {\mathbb{R}}^n$(行向量)，$b\in {\mathbb{R}}^m$, $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$, $Ax=b$对应为m个等式约束。

1.弱对偶

假定式 (1)的最小值在$x^{\ast }$处取得，那么将有:
$$A{x}^{\ast }=b$$

在其两边个乘上一个$y\in {\mathbb{R}}^m$,使其变成一个标量：
$$y^{T}Ax=y^{T}b\text{\hspace{1em}(2)}$$

假设（1）： $y^{T}A<c^T$，那么有(x非负)：
$$y^{T}A{x}^{\ast }<c^T{x}^{\ast }$$

带入(2)式，有(x在左边不见了)：
$$y^{T}b<c^{T}x\ast$$

也就是说，在假设（1）的条件下，任意的$y^{T}b$总是不大于(1)式，即使是最大的$y^{T}b$也一样：
max⁡y{yTb∣yTA<cT}≤min⁡x{cTx∣ATx=b,x≥0}(3)\max_y\{y^Tb | y^TA < c^T\} \le \min_x\{c^Tx|A^Tx = b, x\ge0\}\tag{3}ymax​{yTb∣yTA<cT}≤xmin​{cTx∣ATx=b,x≥0}(3)

即左边的最大值 不大于 右边的最小值。弱对偶只是找到了原来问题的下界，就是那个极大值。这个下界可以给优化问题提供一个近似目标 用于计算。

（在构造的过程中 原来的约束构了新的目标。将自变量消除了）

2.强对偶

强对偶形式是说(3)式中的等号成， 即：
max⁡y{yTb∣yTA<cT}=min⁡x{cTx∣ATx=b,x≥0}(3)\max_y\{y^Tb | y^TA < c^T\} = \min_x\{c^Tx|A^Tx = b, x\ge0\}\tag{3}ymax​{yTb∣yTA<cT}=xmin​{cTx∣ATx=b,x≥0}(3)

强对偶形式的推到需要用到Farkas引理，从等式约束中得出的得出的一个结论（矩阵A和向量b ）基本思路是max 可以任意程度的接近于min（详见苏大神的博文）。

结论：强弱对偶的变换形式是一致的，区别就在于等号是否能够取得到