目录

1）数据处理

2）代价函数

3）Scikit-learn训练数据集

4）正规方程

练习1还包括一个房屋价格数据集，其中有2个变量（房子的大小，卧室的数量）和目标（房子的价格）。 我们使用我们已经应用的技术来分析数据集。

1）数据处理

还是那个建议，大家拿到数据先看看数据长什么样子。

path =  'ex1data2.txt'
data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price'])
data2.head()

对于此任务，我们添加了另一个预处理步骤 - 特征归一化。 这个对于pandas来说很简单

data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
data2.head()

2）代价函数

现在我们重复第1部分的预处理步骤，并对新数据集运行线性回归程序。

data2.insert(0, 'Ones', 1)# set X (training data) and y (target variable)
cols = data2.shape[1]
X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]# convert to matrices and initialize theta
X2 = np.matrix(X2.values)
y2 = np.matrix(y2.values)
theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))# perform linear regression on the data set
g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters)# get the cost (error) of the model
computeCost(X2, y2, g2）

0.13070336960771892

我们也可以快速查看这一个的训练进程。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()

3）Scikit-learn训练数据集

我们也可以使用scikit-learn的线性回归函数，而不是从头开始实现这些算法。 我们将scikit-learn的线性回归算法应用于第1部分的数据，并看看它的表现。

from sklearn import linear_model
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(X, y)

scikit-learn model的预测表现

x = np.array(X[:, 1].A1)    #选取X的第1列（从0列开始）
f = model.predict(X).flatten()fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show()

4）正规方程

正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的：

                                                                                

假设我们的训练集特征矩阵为 X（包含了?0=1）并且我们的训练集结果为向量 y，则利用正规方程解出向量：    

                                                                               。

梯度下降与正规方程的比较：

梯度下降：需要选择学习率α，需要多次迭代，当特征数量n大时也能较好适用，适用于各种类型的模型；

正规方程：不需要选择学习率α，一次计算得出，需要计算，如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为，通常来说当n小于10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型。

# 正规方程
def normalEqn(X, y):theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X)return theta

final_theta2=normalEqn(X, y)#感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
final_theta2

matrix([[-3.89578088],[ 1.19303364]])