转自：矩阵变换坐标系 深入理解 - 知乎

网址链接：从坐标系图中理解“空间变换”

小谈矩阵和坐标变换

矩阵坐标系变化理解

让我们从一个实际的例子入手：下图是一个用两维的笛卡尔坐标系表示的二维空间。

其中，黑色坐标系 x-y代表一个二维空间；蓝色坐标系 i-j代表另外一个二维空间。已知蓝色坐标系轴在黑色坐标系下对应的值是i=(1,1), j=(-1,1)，又知橙色向量 p 处在 i-j 空间中，其坐标值为(2,1)。现在的问题是，这个 p 被转换到黑色坐标系 x-y 空间下它的坐标值是什么？

解决这个问题一个最关键也最直接的想法是“向量分解与再合成”。

p 可以被分解到 i 和 j 两个方向，得到 p= 2i+j；同时 i 又可以分解到 x 和 y 两个方向，得到 i = x + y，另外 j 也可以分解得到 j = -x + y。于是，我们全部展开，就得到 p(i-j) = 2i + j = 2(x + y) + (-x + y) = x + 3y = p(x-y) 。

因此点 p 在 x-y 空间下的坐标值为(1,3)。

这种方法可以用来讨论更一般的情况。假设p点在 i-j 坐标系下为(k1,k2)，在 x-y 坐标系下为(q1,q2)。同样地有基向量 i 对应在 x-y 空间中为(m1,m2)；j 对应在 x-y 空间中为(n1,n2)。

于是我们有以下推导，

i = m1x + m2y，j = n1x + n2y

于是，

p(i-j) = k1i + k2j

= k1(m1x + m2y) + k2(n1x + n2y)

= (k1m1 + k2n1)x + (k1m2 + k2n2)y

于是，

p(i-j) = (k1m1 + k2n1, k1m2 + k2n2)

= (q1, q2)

= p(x-y)

得到，

q1 = k1m1 + k2n1

q2 = k1m2 + k2n2

变换成矩阵形式:

其中(k1,k2)是 i-j 空间下的坐标值，而(q1,q2)是 x-y 空间下的坐标值。中间的矩阵就是用来做转换的矩阵。从中我们可以发现，如果竖着来观察，向量(m1,m2)就是基向量 i 在 x-y 空间下的坐标值，而向量(n1,n2)则是基向量 j 在 x-y 空间下的坐标值。这个矩阵，实际上就是由空间 i-j 下的基向量在空间 x-y 下的坐标值构成的。

1 矩阵的行序和列序（也称行优先或列优先）仅仅是指矩阵的存储方式，即我们如果用一个4*4数组m存储矩阵，如果m[0][0]-m[0][3]连续存储了矩阵的第一行，那么就是行优先，反之就是列优先。无论是行优先还是列优先，它们代表的数学意义是相同的。
2 如果矩阵是行序，那么它的第一列（m[0][0],m[1][0],m[2][0]）就代表X变换，第二列就是Y变换，第三列就是Z变换。
我们来看看为什么：
刚才提到矩阵把线性空间中的一个点给变换到另一个点，不妨称变换前的点为P1(x1,y1,z1)，变换后的点为P2(x2,y2,z2）：
那么根据线代中的矩阵乘法，P1 * M = P2展开就成了：
m00,m01,m02
(x1,y1,z1) * m10,m11,m12 = x1*m00+y1*m10+z1*m20+ x1*m01*
m20,m21, m22 y1*m11+z1*m21,x1*m02+y1*m12+z1*m22

所以：
x2 = x1*m[0][0] + y1*m[1][0] + z1*m[2][0];
y2 = x1*m[0][1] + y1*m[1][1] + z1*m[2][1];
z2 = x1*m[0][2] + y1*m[1][2] + z1*m[2][2];
看出什么了吗？
如果把一个行序矩阵（接下来讨论的都是行序矩阵，就省略行序二字了）的每一列分别用X,Y,Z三个矢量来表示，那么M就表示为：XYZ三根轴。
现在，矩阵M看起来是不是很像一个坐标系？而P1到P2的变换就是P1分别与X,Y,Z的点积！
也就是矩阵M是把P1从老坐标系变换到新坐标系，而矩阵的三列（三根轴）就分别代表了新坐标系的三根轴在老坐标系中的坐标！
而点积的几何意义其实就是求取投影！所以坐标变换的几何本质（刚才已经讨论过其代数本质），就是把一个点分别投影到三根轴上去而已！
再仔细想一想，P1在XYZ三根轴上的投影，不正是它在新坐标系下的坐标吗？这样一来，坐标变换是不是就太容易理解了呢？

综上理解得出: