题目一：给出一个n,代表有从1到n的数字[1,2,3,··· n]，问可以构成多少种二叉搜索树？...

题目一：给出一个n,代表有从1到n的数字[1,2,3,··· n]，问可以构成多少种二叉搜索树？

一开始的想法是直接递归构造，时间复杂度是指数上升；
后来想法是找规律：
先看例子：

n = 1, 有一个元素,可以构成一个二叉搜索树,左右都没有元素，总数量 = 左子树数量 右子树数量，记为f(1) = f(0) f(0) = 1，这儿可以将f(0)初始化为1;
n = 2, 1做根，那么左子树没有元素记为f(0),右子树有一个元素记为f(1), 2做根，左子树有一个元素，记为f(1),右子树没有元素记为f(0);
总共：f(2) = f(0) f(1) + f(1) f(0) = 2;
n = 3, 1做根，数量 = f(0) f(2), 2做根 数量 = f(1) f(1), 3做根， 数量 = f(2) f(0);
总共 f(3) = f(0) f(2) + f(1) f(1) + f(2) f(0) = 5;
可以看出f(n),依赖与f(0)到f(n-1),换句话说可以有前面的n-1项推导出第n项；
分析关系表达式：
记h(k)为以k为根可以生成的二叉搜索树数量；
当以k为根时，他的左子树为[1,2 ··· k-1]构成，也就是左子树有k-1个元素构成，这个就可以记为f(k-1)；
右子树为[k+1 ··· n]构成，也就是右子树有n-k个元素构成，这个可以记为f(n-k)；
那么h(k) = f(k-1) * f(n-k); 要记得k的范围可以从1到n;
整合以上规律可得到：有n个元素的二叉搜索树的数量；f(n) = h(1)+h(2)+···+h(n) = ∑ h(k) ,0 < k <= n;
又因为h(k) = f(k-1) f(n-k)得到：f(n) = ∑ f(k-1) f(n-k); 0 < k <= n;
代码：输入n，输出可以构造出的二叉搜索树的数量；
时间复杂度O(n^3)；

private static int BSCount(int n) {int[] res = new int[n+1];res[0] = 1;for(int i = 1; i<=n; i++) {for(int k=1; k<=i; k++) {res[i] += res[k-1] * res[i-k];
//				System.out.println(i + " k:" + k +" " + res[i]);}}return res[res.length-1];}

　　注释：第一个循环用来控制根节点肯能出现的情况。因为这是一个递归表达式，第二个循环是用来控制计算以当下值为根节点的时候，所以依赖的前面表达式的值是多少。

　　　　　　比如计算以当n3的时候，需要计算一下三种情况：

　　　　　　　　　　res[3]+=res[0]*res[2]　　(以1为根节点时)

　　　　　　　　　　res[3]+=res[1]*res[1]　　(以2为根节点时)

　　　　　　　　　　res[3]+=res[2]*res[0]　　(以3为根节点时)

　　　　　　那么，这些表达式中的res[1]和res[2]需要提前计算。这个是由第二个循环来完成的。