区间估计

　问题：点估计估计的参数有多大概率是正确的？用区间估计来表示。

置信区间

　设总体X的分布函数$F(x;\theta)$，$\theta$未知，对给定值$\alpha(0<\alpha<1)$，有两个统计量$\hat \theta_L=\hat \theta_L(X_1,X_2,...X_n),\hat\theta_U=\hat\theta_U(X_1,X_2,...X_n)$，使得$P\{\hat \theta_L(X_1,X_2,...X_n)<\theta<\hat\theta_U(X_1,X_2,...X_n)\}\ge1-\alpha$，($\hat \theta_L,\hat \theta_U$)称为$\theta$的置信水平为$1-\alpha$的双侧置信区间。$\hat \theta_L$是双侧置信下限，$\hat \theta_U$是双侧置信上限。
　$\theta$虽然未知，但是是确定的数值。
　$\hat \theta_L$,$\hat \theta_U$是统计量，随机的，依赖于样本。
　置信区间($\hat \theta_L,\hat \theta_U$)也是随机的。
　($\hat \theta_L,\hat \theta_U$)是$\theta$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间，含义是：区间($\hat \theta_L,\hat \theta_U$)有$1-\alpha$的概率覆盖$\theta$的真值。区间可能包含真值，也可能不包含真值。

单侧置信下限

　如果$P\{\hat \theta_L(X_1,X_2,...X_n)<\theta\}\ge1-\alpha$，则称$\hat \theta_L$是参数$\theta$的置信水平为$1-\alpha$的单侧置信下限。

单侧置信上限

　如果$P\{\hat \theta_U(X_1,X_2,...X_n)>\theta\}\ge1-\alpha$，则称$\hat \theta_U$是参数$\theta$的置信水平为$1-\alpha$的单侧置信上限。　

关系

　如果$\hat \theta_L$是参数$\theta$的置信水平为$1-\alpha_1$的单侧置信下限，$\hat \theta_U$是参数$\theta$的置信水平为$1-\alpha_2$的单侧置信上限，则($\hat \theta_L,\hat \theta_U$)是$\theta$的置信水平为$1-\alpha_1-\alpha_2$的置信区间。

精确度

　置信区间($\hat \theta_L,\hat \theta_U$)的平均长度$E(\hat \theta_U-\hat \theta_L)$为区间的精确度。
　在样本容量一定的情况下，精确度高，则置信水平就降低。

如何选择置信区间##　

　Neyman原则：在置信水平达到$1-\alpha$的置信区间中，选精确度尽可能高的置信区间。

找精确度高的置信区间

找置信区间

　1 找一个随机变量G，G的分布已知。
　2 找a,b是的$P(a<G<b)\ge1-\alpha$，G是$\theta$和样本的函数。
　3 从$a<G<b$，计算出$\hat \theta_L<\theta<\hat \theta_U$，得到($\hat \theta_L,\hat \theta_U$)。

选择G

　$G=G(X_1,X_2...X_n;\theta)$为样本和待估参数的函数，如果G的分布已知，不依赖于任何未知参数，则G为枢轴量。
　枢轴量与统计量的区别：
　统计量：样本的函数；分布未知；
　枢轴量：样本和未知参数的函数；分布已知。
　正态分布的统计量$\overline X$服从$N(\mu,\sigma^2/n)$，$\mu,\sigma^2$是未知参数，所以$\overline X$分布未知。
　对位置参数$\mu$的枢轴量$\dfrac{\overline X -\mu}{S/\sqrt{n}}$服从t(n-1)，与$\mu$无关，所以分布已知。

选择精确度高的置信区间##　

　1 a,b区间最短。
　2 如果最优解不存在或者比较复杂，对于连续总体，可以选择满足$P(G(X_1,X_2,...X_n)\le a)=P(G(X_1,X_2,...X_n)\ge b)=\dfrac{\alpha}{2}$的a和b。

正态总体下的区间估计

单个正态总体均值的区间估计

　这里分辨一下标识符。$\Phi(x)=P(X\le x)$，$z_\alpha$是正态函数的上$\alpha$分位数，表示$P(X>z_\alpha)=\alpha=1-\Phi(z_\alpha$)。
　

$\sigma^2$已知

　$G=\dfrac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$~N(0,1)
　正态分布的对称性
　$\mu$的双侧置信区间为$(\overline X - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\overline X +\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2})$
　单侧置信下限为$\overline X - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha}$
　单侧置信上限为$\overline X + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha}$

$\sigma^2$未知

　$G=\dfrac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}}$~t(n-1)
　t态分布的对称性
　$\mu$的双侧置信区间为$(\overline X - \dfrac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2},\overline X +\dfrac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2})$
　单侧置信下限为$\overline X - \dfrac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}$
　单侧置信上限为$\overline X + \dfrac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}$

成对数据均值差的区间估计

　为考察降压药降压效果，测试了n个病人用药前后的血压分别为$(X_1,Y_1),(X_2,Y_2)...(X_n,Y_n)$，$X_i,Y_i$不是独立，$X_1,X_2$…之间独立，但不是同分布。但是$D_i=Y_i-X_i$，则消除了个体差异，可看成是来自同一正态分布的样本，且相互独立。
　$\mu_D$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间为$(\overline D -t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{S_D}{\sqrt{n}},\overline D +t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{S_D}{\sqrt{n}})$
　

单个正态总体方差的区间估计

　$G=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$~$X^2(n-1)$卡方分布
　卡方分布不对称，没有最优解
　$\sigma^2$的双侧置信区间为$(\dfrac{(n-1)S^2}{X^2_{\alpha/2}(n-1)},\dfrac{(n-1)S^2}{X^2_{1-\alpha/2}(n-1)})$

两个正态总体均值差的区间估计

$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知

$\sigma_1^2,\sigma_2^2$未知，但$\sigma_1=\sigma_2$

$\sigma_1^2,\sigma_2^2$未知

不再详细记录，用的时候看书。

两个正态总体方差比值的区间估计

不再详细记录，用的时候看书。

其他总体均值的区间估计

　设总体X的均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$，样本为$X_1,X_2,...X_n$，当n充分大(n>30)时，由中心极限定理可知，$\dfrac{\overline X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$　近似服从N(0,1)。
　当$\sigma^2已知$，置信区间近似为$(\overline X - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\overline X +\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2})$
　当$\sigma^2$未知，以样本方差$S^2$代入，得到置信区间近似为$(\overline X - \dfrac{S}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\overline X +\dfrac{S}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2})$