文章出处：极客时间《数据结构和算法之美》-作者：王争。该系列文章是本人的学习笔记。

分析排序算法的角度

算法的执行效率

算法的执行效率一般从时间复杂度以及比较、交换次数来考虑。

时间复杂度

时间复杂度需要考虑最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度。同时我们需要考虑复杂度的系数、常数和低阶。这是因为时间复杂度反应的是数据规模n很大时候的一个增长趋势，所以会忽略系数、常数、低阶。但是实际软件开发中，n可能是10、100、1000。这个时候就不能忽略系数、常数、低阶。

比较、交换次数

我们常见的排序算法大多数是基于比较的。基于比较的排序算法会涉及比较和元素交换两种操作。所以需要考虑。

内存消耗

有些排序算法的空间消耗是O(1)的，有些是O(n)。原地排序是空间复杂度是O(1)的排序算法。

算法的稳定性

排序算法的稳定性是指如果数组中有两个值相同的元素，经过排序算法排序之后，这两个元素的前后顺序不发生变化。这种排序算法叫做稳定的排序算法。如果前后顺序发生变化了，则称为不稳定性排序算法。
用途是：一般排序的是一个对象。例如希望按照订单金额从小到大排序订单，金额相同的时候按照订单时间从小到大排序。我们可以先按照订单时间从小到大排序，然后按照订单金额从小到大排序。如果是稳定的则可以实现这样的要求。

总结：考核的指标有：最好时间复杂度、最坏时间复杂度、平均时间复杂度、比较次数、交换次数、空间复杂度、算法稳定性。

基于比较的排序算法比较

有序度

数组中具有有序关系的元素对的个数。有序元素对的表示是这样的：

$a[i]<=a[j]，如果i<j$
一个数组中最大的有序度是$\frac{n\ast (n-1)}{2}$，称为满有序度。
逆序度=满有序度-有序度

冒泡排序

特点：比较相邻元素，交换的也是相邻元素
空间复杂度：O(1)，原地排序
稳定性：稳定(只要相邻元素相等不做交换)
最好时间复杂度：要排序的数组已经有序，需要冒泡一遍，O(n)。
最坏时间复杂度：顺序刚好相反，需要n次冒泡，O($n^2$)。
平均时间复杂度：平均时间复杂度本来是一个加权平均值。但这里太过复杂，使用有序度来解决。
排序算法的时间复杂度主要由比较次数和交换次数决定。
因为每交换一次，数组的有序度加1。所以最少的交换次数是0，当输入完全有序。最多$\frac{n\ast (n-1)}{2}$，当输入完全无序。取个平均值表示初始有序度既不高也不低：$\frac{n\ast (n-1)}{4}$。也就是说平均情况下需要$\frac{n\ast (n-1)}{4}$次交换。
比较次数肯定多于交换次数，这个值的上限是O($n^2$)。
所以平均时间复杂度是O($n^2$)。

插入排序

特点：往一个有序的数组中插入一个元素。将数组分为有序区间和无序区间。
空间复杂度：O(1)，原地排序
稳定性：稳定
最好时间复杂度：如果输入是已经排序好的，我们每次只在有序区间的末尾比较一次数据，所以是O(n)。注意：这里是从尾到头遍历已经排序好的数据。
最坏时间复杂度：如果是输入是逆袭的，相当于每次在数组的第一个位置插入元素，需要移动大量的数据。复杂度O($n^2$)。
平均时间复杂度：在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是O(n)（以前课程里面讨论过）。循环插入n次。所以复杂度O($n^2$)。
一般项目中选择插入排序。因为插入排序的数据交换工作比较简单。随机生成 10000 个数组，每个数组中包含 200 个数据。在我电脑上，冒泡排序394ms，插入排序6ms。

选择排序

特点：将数组分为有序区间和无序区间。每次在无序区间选择最小元素插入在有序区间末尾。
空间复杂度：O(1)，原地排序
稳定性：不稳定。找到的最小元素需要与前面的元素互换位置，可能改变相同元素的前后顺序。
最好时间复杂度：因为选择排序每次都需要在无序区间选择最小元素，所以每次都需要n次比较。需要重复n次。所以复杂度O($n^2$)。
最坏时间复杂度：O($n^2$)
平均时间复杂度：O($n^2$)

归并排序

特点：使用分治、分区的思想。例如解决下标从p到q数组的排序问题，可以先解决从p到r，从r+1到q两个子数组的排序问题，然后将两个子数组合并，就解决了。
空间复杂度：因为合并部分需要单独申请空间，而最多申请O(n)。不是原地排序。
稳定性：只需要保证合并过程中相同元素前后位置不变，就可以保证稳定性。
时间复杂度：O(nlogn)。

快速排序

特点：使用分治、分区的思想。例如解决下标从p到q数组的排序问题。我们先选择一个pivot元素，可以是a[q]。小于pivot的元素放在左边，大于pivot的元素放在右边，pivot放在中间，位置假如是i。然后再递归的解决从p到i-1的排序问题，从i+1到q的排序问题。
递推公式：quick_sort(p…q) = quick_sort(p,i-1)+ quick_sort(i+1,q)
退出条件：p>=q
快速排序找到pivot元素的合适位置的函数是partition。这个函数的实现有一些技巧。
空间复杂度：O(1)，原地排序
最好时间复杂度：最好的情况是pivot每次可以将数组一分为二，时间复杂度O($nlogn$)。
最坏时间复杂度：如果每次pivot都将数组分成两部分（自己和其他部分），时间复杂度就是O($n^2$)
平均时间复杂度：O($nlogn$)，以后的课程中会介绍。使用递归树来理解。
分治、分区思想的拓展：用来解决无序问题。例如查找一个无序数组的第k大元素。我们选择数组a[0…n-1]的最后一个元素a[n-1]作为pivot。对数组做原地拆分，变为a[0…p-1]、a[p]、a[p+1…n-1]。如果k=p+1，那么a[p]就是答案。如果k<p+1，那么答案在a[0…p-1]中，继续做分区。如果k>p+1，则答案在a[p+1…n-1]，继续做分区。

快速排序vs归并排序

归并排序是由下到上，先处理子问题（的排序问题），然后再合并。
快速排序是由上到下，先分区，再处理子问题（的排序问题）。

如何优化快速排序

快排在某些情况下时间复杂度会退化为$O(n^2)$。这种时候是因为选取的pivot每次都将数组分成了自己和其他两个部分，如果选择的pivot合适就不会出现这样的情况。
1 三数取中法。可以选择头、尾、中间三个元素的中间值作为pivot。如果数组比较长，可以使用“五数取中法”、“十数取中法”。
2 随机法。从要排序的区间中每次随机选择一个数作为pivot。从概率角度讲，有选择不合适的时候，但不会每次都不合适。

快排可以优化的还有空间。快排使用的是递归，会因为栈大小的限制，引起栈溢出。可以在堆上模拟实现一个函数调用栈，手动模拟递归出栈、压栈的过程，这样就没有栈空间大小限制了。

线性排序算法

桶排序

特点：将要排序的数据放入几个桶，每个桶内的数据再单独排序。按照桶依次取出就实现了整体数据排序。
应用范围：1 要排序的数据能够很容易划分到m个桶。并且桶之间有天然的大小关系。2 各个桶的数据分布要均匀，如果集中在一个桶，那就没有意义了。3 比较适合外部排序，数据量太大，不能在内存中完成排序。
时间复杂度：在桶的个数m非常接近数组大小n的时候，接近O(n)，实际是O(nlog(n/m))。
空间复杂度：O(n)
稳定性: 取决于每个桶的排序方式，快排就不稳定，归并就稳定。

计数排序

特点：是桶排序的特殊化。每个桶内放的值是相同的。例如考生排名。
时间复杂度：O(n)。
计数排序的计数方法是需要了解的。（图片来自极客时间）

例如有8个考生，成绩分别是A[8]={2,5,3,0,2,3,0,3}。计算得到每个考生的排名。
1 用C[6]表示桶数组，遍历一遍得到C[6]={2,0,2,3,0,1}。
2 我们对C数组顺序求和得到C[6]={2,2,4,7,7,8}。C[k]存储小雨等于分数k的考生个数。
3 从后向前一次扫描数组A，k=A[i]，idx=C[k]-1,R[idx]=k,C[k]=C[k]-1。这样就知道考试得分是k的考生，排名是idx。
代码

考生排名一般用JDK自带的排序算法即可实现。这样的时间复杂度一般为O(nlogn)。当成绩是一个整数的时候可以使用计数排序在O(n)时间内完成。代码

应用范围：计数排序只能用在数据范围不大的场景中。如果数据范围k比数组长度n大很多，就不适合了。计数排序只能给出非负整数的排序。如果要排序的数据是基于其他类型的，需要调整到非负整数的范围。
稳定性: 稳定，只要整理最后结果时从后开始遍历即可。

基数排序

特点：如果有10万个手机号码，从小到大排序。因为数据范围大，桶排序和计数排序都不适合。可以先按照最后一位排序，接着按照倒数第二位排序…一直到按照第一位排序。使用稳定排序算法。经过11次排序之后，手机号码就有序了。
应用范围：可以分割出单独的每一位，而且位之间有递进关系（a的高位大于b的高位=>a大于b）。每一位的数据范围不能太大，要可以使用线性排序。
时间复杂度：O(k*n)。每一位按照桶排序或者计数排序实现，需要排序k次。
稳定性：稳定，而且必须稳定。

业务思考题

1 为什么插入排序比冒泡排序更受欢迎？
2 用快排思想在O(n)内找第k大元素？
3 现在你有10个接口访问日志文件，每个文件大小约300MB，每个文件里的日志都是按照时间戳从小到大排序的。你希望将这10个较小的日志文件合并为1个日志文件，合并之后的日志仍然按照时间戳从小到大排序。如果处理上述排序任务的机器内存只有1GB，怎么做？
4 如何根据年龄给100万用户数据排序？
5 假设我们现在需要对D,a,F,B,c,A,z这个字符串进行排序，要求将其中所有小写字母都排在大写字母前面，但小写字母内部和大写字母内部不要求排序。