上一篇文章学习了函数的渐近的界定义，本篇文章继续学习函数渐近的界定理。这些定理的证明，用到了函数渐近的界的定义。点击查看上一篇文章：【算法设计与分析】04 函数的渐进的界

1. 定理1

定理： 设 f 和 g是定义域为自然数集合的函数.

1.1 证明定理1

1.2 估计函数的阶

1.3 一些重要的结论

1.31 多项式函数的阶低于指数函数的阶

可证明：多项式函数的阶低于指数函数的阶

证 不妨设d为正整数，

1.32 对数函数的阶低于幂函数的阶

可证明：对数函数的阶低于幂函数的阶

证明：

2. 定理2

定理 设函数f, g, h的定义域为自然数集合，

函数的阶之间的关系具有传递性

2.1 例子

按照阶从高到低排序以下函数：

排序 h(n), f(n), g(n), t(n)

3. 定理3

定理 假设函数f 和g的定义域为自然数集，若对某个其它函数 h, 有

f =O(h) 和 g=O(h)，

那么 f + g = O(h).

该性质可以推广到有限个函数.

算法由有限个步骤组成，若每一步的时间复杂度函数的上届都是h(n),那么该算法的时间复杂度函数可以写成O(h(n)).

4. 总结

1. 估计函数的阶的方法

• 计算极限
• 阶具有传递性

2. 对数函数的阶低于幂函数的阶，多项式函数的阶低于指数函数的阶
3. 算法的时间复杂度是各步骤操作时间之和，在常数步的情况下，取最高阶的函数即可。