本文主要描述分治算法的一般描述和分析方法。衔接上一篇文章：【算法设计与分析】13 分治策略的设计思想

1 分治算法的一般性描述

• 设分治算法为：Divide-and-Conquer§

• 设计要点

1. 原问题可以划分或者规约为规模较小的子问题。其中子问题之间遵循以下的规则：

    	1. 子问题与原问题具有相同的性质2. 子问题的求解彼此独立3. 划分时，子问题的规模尽可能均衡
   

2. 子问题较小时可以直接求解

3. 子问题的解综合可以得到原问题的解

4. 算法的实现：迭代或者递归

1.1 分支算法的时间分析

时间复杂度函数的递推方程：

• $W(n)=W(|P_1|)+W(|P_2|)+...+W(|P_k|)+f(n)$
• $W(c)=C$

其中

1. $P_1,P_2,...P_{k}w为划分后产生的子问题$
2. $f(n)为划分子问题以及将子问题的解综合得到原问题的解的总工足量$
3. 规模为c的最小子问题的工作两为：C

1.2 两类常见的递推方程与求解方法

• $$f(n)=\sum _i^n{a}_{i}f(n-i)+g(n)，(1)$$
• $$f(n)=af(\frac{n}{b})+d(n)，(2)$$

例子：

Hanoi塔，$W(n)=2W(n-1)+1$
二分检索，$W(n)=W(n/2)+1$
归并排序，$W(n)=2W(n/2)+n-1$

那么这些递推方程如何求解？

• 方程1：$f(n)={\sum }_i^n{a}_{i}f(n-i)+g(n)$

1. 迭代法、递归树

• 方程2：$f(n)=af(\frac{n}{b})+d(n)$

1. 迭代法、换元法、递归树、主定理

对于方程2，可以使用主定理，该定理可以很快求解出方程的解，前面的文章已经学习过主定理，这里再次提一下：

• 对于方程$T(n)=aT(n/b)+d(n)$

1. 如果d(n)为常数：

$$T(n)=\{\begin{array}{ll}O(n^{lo{g}_{b}a}),& \text{a=1}\\ O(logn),& \text{a=1}\end{array}$$

2. 如果d(n) = c(n)

$$T(n)=\{\begin{array}{ll}O(n),& \text{a < b}\\ O(nlogn),& \text{a=b}\\ O(n^{lo{g}_{b}a}),& \text{a>b}\end{array}$$

注：上述的$lo{g}_{b}a$中的b是以b为底的意思，但是上面的公式显示的不明显。

2 总结

• 想要彻底理解分治算法的思想，还需要多做练习，后面的文章会结合具体的例子，来讲解分治算法的思想在具体应用中的使用