这节学习一种特殊的二叉树—二叉查找树。它最大的特点是支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。但是散列表也是支持这些操作的，并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效，时间复杂度是 O(1)。

问题引入

既然有高效的散列表，二叉树的地方是不是都可以替换成散列表呢？哪些地方是散列表做不了，必须要用二叉树来做？

二叉查找树（Binary Search Tree）是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。它不仅支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。二叉查找树要求在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。二叉查找树支持快速查找、插入、删除操作，这三个操作是如何实现的。

1.二叉查找树的查找操作

如何在二叉查找树中查找一个节点。先取根节点，如果等于要查找的数据那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。查找的代码实现

public class BinarySearchTree {   private Node tree;   public Node find(int data) {     Node p = tree;     while (p != null) {       if (data < p.data) p = p.left;       else if (data > p.data) p = p.right;       else return p;     }     return null;   }   public static class Node {     private int data;     private Node left;     private Node right;       public Node(int data) {       this.data = data;     }   } }

2.二叉查找树插入操作

插入过程有点类似查找。新插入数据一般都是在叶子节点上，从根节点开始依次比较要插入的数据和节点的大小关系。如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，类推。插入的代码

public void insert(int data) {   if (tree == null) {     tree = new Node(data);     return;   }   Node p = tree;   while (p != null) {     if (data > p.data) {       if (p.right == null) {         p.right = new Node(data);         return;       }       p = p.right;     } else { // data < p.data       if (p.left == null) {         p.left = new Node(data);         return;       }       p = p.left;     }   } }

3. 二叉查找树删除操作

删除操作就比较复杂，针对要删除节点的子节点个数不同需要分三种情况来处理。

第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55。

第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），只需要更新父节点中指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。

第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点。需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。

public void delete(int data) {   Node p = tree; // p指向要删除的节点，初始化指向根节点   Node pp = null; // pp记录的是p的父节点   while (p != null && p.data != data) {     pp = p;     if (data > p.data) p = p.right;     else p = p.left;   }   if (p == null) return; // 没有找到     // 要删除的节点有两个子节点   if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点     Node minP = p.right;     Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点     while (minP.left != null) {       minPP = minP;       minP = minP.left;     }     p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中     p = minP; // 下面就变成了删除minP了     pp = minPP;   }     // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点   Node child; // p的子节点   if (p.left != null) child = p.left;   else if (p.right != null) child = p.right;   else child = null;     if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点   else if (pp.left == p) pp.left = child;   else pp.right = child; }

关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度

4.二叉查找树的其他操作

除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。二叉查找树除了支持上面几个操作之外，还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。

5.支持重复数据的二叉查找树

二叉查找树除了存储数字外，在实际的软件开发中存储的，是一个包含很多字段的对象。我们利用对象的某个字段作为键值（key）来构建二叉查找树。把对象中的其他字段叫作卫星数据。前面的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？

有两种解决方法。第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。第二种方法比较不好理解，不过更加优雅。每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。

当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。

对于删除操作，也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。

6.二叉查找树的时间复杂度分析

二叉查找树的插入、删除、查找操作的时间复杂度。

如何求一棵包含 n 个节点的完全二叉树的高度？树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。包含 n 个节点的完全二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节点，第 K 层包含的节点个数就是 2^(K-1)。对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数在 1 个到 2^(L-1) 个之间（我们假设最大层数是 L）。如果我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说，如果节点的个数是 n，那么 n 满足这样一个关系：n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1)借助等比数列的求和公式， L 的范围是[log2(n+1), log2n +1]。

完全二叉树的层数小于等于 log2n +1，完全二叉树的高度小于等于 log2n。我们需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，一种特殊的二叉查找树—平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近 logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn)。

散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的 O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是 O(logn)，相对散列表，好像并没有什么优势，那我们为什么还要用二叉查找树呢？

有下面几个原因：

1. 散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。
2. 散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。
3. 笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。
4. 散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。
5. 为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。

综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，这两者的存在并不冲突。需要结合具体的需求来选择使用哪一个。