如何理解“堆”

堆排序是一种原地的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法

堆的两个特点：

1. 一颗完全二叉树
2. 堆中每个节点都必须大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值；

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，叫做“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，叫做“小顶堆”。

如何实现一个“堆”

如何存储一个堆

完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。

堆都支持哪些操作

堆中插入一个元素

插入元素放到最后，需要进行堆化操作：堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。这里我先讲从下往上的堆化方法——顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换

public class Heap {private int[] a; // 数组，从下标1开始存储数据private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数private int count; // 堆中已经存储的数据个数public Heap(int capacity) {a = new int[capacity + 1];n = capacity;count = 0;}public void insert(int data) {if (count >= n) return; // 堆满了++count;a[count] = data;int i = count;while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化swap(a, i, i/2); // swap()函数作用：交换下标为i和i/2的两个元素i = i/2;}}}

删除堆顶元素

思路一：删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们再迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。此方法会出现数组空洞

思路二：把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。

实现代码：

public void removeMax() {if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据a[1] = a[count];--count;heapify(a, count, 1);
}private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化while (true) {int maxPos = i;if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;if (maxPos == i) break;swap(a, i, maxPos);i = maxPos;}
}

如何基于堆实现排序？

这种排序方法的时间复杂度非常稳定，是 O(nlogn)，并且它还是原地排序算法。堆排序的过程分为2步骤：

1、建堆

思路一：数组中包含 n 个数据，但是我们可以假设，起初堆中只包含一个数据，就是下标为 1 的数据。然后，我们调用前面讲的插入操作，将下标从 2 到 n 的数据依次插入到堆中。这样我们就将包含 n 个数据的数组，组织成了堆。此方法从前往后处理数组数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。不推荐

思路二：从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。以下图示：

实现代码

private static void buildHeap(int[] a, int n) {for (int i = n/2; i >= 1; --i) {heapify(a, n, i);}
}private static void heapify(int[] a, int n, int i) {while (true) {int maxPos = i;if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;if (maxPos == i) break;swap(a, i, maxPos);i = maxPos;}
}

对下标从 2n​ 开始到 1 的数据进行堆化，下标是 2n​+1 到 n 的节点是叶子节点，我们不需要堆化。实际上，对于完全二叉树来说，下标从 2n​+1 到 n 的节点都是叶子节点。

建堆的时间复杂度就是 O(n)。

2、排序

• 建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置。
• 这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了。

堆排序过程代码：

// n表示数据的个数，数组a中的数据从下标1到n的位置。
public static void sort(int[] a, int n) {buildHeap(a, n);int k = n;while (k > 1) {swap(a, 1, k);--k;heapify(a, k, 1);}
}

分析一下堆排序的时间复杂度、空间复杂度以及稳定性

1、整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。

2、堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。

3、堆排序不是稳定的排序算法，因为在排序的过程，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。

解释：在前面的讲解以及代码中，我都假设，堆中的数据是从数组下标为 1 的位置开始存储。那如果从 0 开始存储，实际上处理思路是没有任何变化的，唯一变化的，可能就是，代码实现的时候，计算子节点和父节点的下标的公式改变了。如果节点的下标是 i，那左子节点的下标就是 2∗i+1，右子节点的下标就是 2∗i+2，父节点的下标就是 2i−1​。

解答标题

第一点，堆排序数据访问的方式没有快速排序友好。对于快速排序来说，数据是顺序访问的。而对于堆排序来说，数据是跳着访问的。堆排序中，最重要的一个操作就是数据的堆化。比如下面这个例子，对堆顶节点进行堆化，会依次访问数组下标是 1，2，4，8 的元素，而不是像快速排序那样，局部顺序访问，所以，这样对 CPU 缓存是不友好的。

第二点，对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序、