弹性法计算方法的mck法_粘弹性自由阻尼加筋板的随机响应分析和试验研究

0 引 言

船舶在营运过程中可能产生有害振动并影响正常运营,此时需要对船体结构采取有效的减振措施,在结构上敷设阻尼是常用、高效的减振方法之一[。

要达到良好的减振效果,需要选取合适的阻尼材料和合理的敷设方式。粘弹性阻尼材料由于其性能参数受频率和温度影响较大,给敷设阻尼材料结构的动力学性能预测带来了较大的困难。随着对粘弹性阻尼研究的深入,各种粘弹性阻尼模型被提出,如复模量模型、分数导数模型、GHM模型等[,一些具有严格解析解的模型仅仅能够处理几何结构和边界条件较为简单的复合结构,难以运用到工程结构上。Johnson等[提出了模态应变能法,通过忽略结构刚度矩阵的虚部得到的实模态振型来代替结构的复模态振型,求出结构的应变能进而求得结构的模态损耗因子。常规的模态应变能法在求取损耗因子时忽略了阻尼的温频依赖特性,因此所得的损耗因子可能会有较大的偏差。由于温频等效原理可以将阻尼材料的温度影响转化为等效频率的影响[,在计算中只需研究粘弹性材料的频变效应。邓年春等[提出了一种新的建立约束阻尼板的结构动力学计算模型的方法,描述了粘弹性材料随频率变化的特性。孙社营[利用模态应变能法并结合2次迭代的方式考虑了粘弹性材料的频变特性对模态阻尼比的影响。这些方法虽考虑了材料温频特性影响,但是计算过程较复杂,工程适用性不强。

本文在模态应变能法的基础上,结合有限元分析,推导出考虑粘弹性阻尼材料损耗因子和弹性模量频变特性的模态损耗因子修正计算公式,并通过算例[进行验证。在此基础上,结合阻尼加筋板结构的模型试验,利用模态叠加法计算获得传递函数和随机响应计算结果,并与试验结果进行对比分析,验证了该方法的工程适用性。

1 理论分析及修正公式推导1.1 模态应变能法基本原理

粘弹性自由阻尼结构的自由振动方程如下:

$M\ddot x + Kx = 0{\text{,}}$

(1)

由于结构中有粘弹性材料,因此其刚度矩阵K为复常数,即

$K = {K_R} + i{K_I}{\text{,}}$

(2)

${K_R}{\rm{ = }}{K_e} + {K_{vR}}{\text{,}}$

(3)

${K_I} = {\eta _v} \cdot {K_{vR}}{\text{。}}$

(4)

式中:${K_R}$、${K_I}$分别为复刚度矩阵的实部和虚部;${K_e}$为弹性层刚度矩阵;${K_{vR}}$为阻尼层刚度矩阵实部;${\eta _v}$为阻尼材料损耗因子。

假设式(1)的解形式为:

$X = {\phi ^{*(r)}}{e^{i\omega _r^*t}}{\text{,}}$

(5)

可以得到如下形式的复特征向量和复特征值[:

${\phi ^{*(r)}}{\rm{ = }}\phi _{^R}^{*(r)} + i\phi _I^{*(r)}{\text{,}}$

(6)

$\omega _r^* = {\omega _r}\sqrt {1 + i{\xi ^{(r)}}} {\text{。}}$

(7)

式中:${\phi ^{*(r)}}$为r阶复特征向量;$\phi _{^R}^{*(r)}$,$\phi _I^{*(r)}$分别为其实部和虚部;$\omega _r^*$为r阶复特征值;${\xi ^{(r)}}$为r阶模态损耗因子。

结合式(1)、式(2)及式(5)、式(6)可以得到

$\omega _r^2{\rm{(}}1 + i{\xi ^{(r)}}{\rm{) = }}\frac{{{\phi ^{*(r)T}}{K_R}{\phi ^{*(r)}}}}{{{\phi ^{*(r)T}}M{\phi ^{*(r)}}}} + i\frac{{{\phi ^{*(r)T}}{K_I}{\phi ^{*(r)}}}}{{{\phi ^{*(r)T}}M{\phi ^{*(r)}}}}{\text{。}}$

(8)

由于粘弹性阻尼刚度较弹性层非常小,用

${K_R}$代替

$K$代入式(1)可以得到实模态振型

${\phi ^{(r)}}$并以此代替复模态振型,结合式(4)、式(8)可以得到

$ \begin{split} & {\xi ^{(r)}} = \frac{{{\phi ^{(r)T}}{K_I}{\phi ^{(r)}}}}{{{\phi ^{(r)T}}{K_R}{\phi ^{(r)}}}}{\rm{ = }}{\eta _v}\frac{{{\phi ^{(r)T}}{K_{vR}}{\phi ^{(r)}}}}{{{\phi ^{(r)T}}{K_R}{\phi ^{(r)}}}}{\rm{ = }}\\ & \quad \quad{\eta _v}\frac{{V_v^{(r)}}}{{{V^{(r)}}}}{\rm{ = }}{\eta _v}\frac{{V_v^{(r)}}}{{V_e^{(r)} + V_v^{(r)}}}{\rm{ = }}{\eta _v}{R^{(r)}}{\text{。}} \end{split} $

(9)

式中:${V^{(r)}}$为结构总体模态应变能;$V_e^{(r)}$,$V_v^{(r)}$分别为弹性层、粘弹性层模态应变能;${R^{(r)}}$为弹性应变能比,即

$V_v^{(r)}$与

${V^{(r)}}$之比。

1.2 考虑粘弹性阻尼频变特性的模态损耗因子修正计算公式推导

在粘弹性阻尼结构中,由于粘弹性材料的弹性模量

${E_v} \ll {E_e}$,因此

${K_v} \ll {K_e}$,${E_v}$变化对整体刚度矩阵

$K$的影响非常小,因此假设粘弹性阻尼材料弹性模量变化时,结构的特征值

${\omega _r}$和特征向量

${\phi ^{(r)}}$不变,则式(9)中弹性层的模态应变能

$V_e^{(r)}$不变,粘弹性阻尼的模态应变

$V_v^{(r)}$能随着阻尼弹性模量变化呈正比例变化。

若已求得在粘弹性阻尼弹性模量为

${E_{ref}}$时的第r阶弹性应变能比为

$R_{_{ref}}^{(r)} = \frac{{V_{vref}^{(r)}}}{{V_{eref}^{(r)} + V_{vref}^{(r)}}}{\text{,}}$

(10)

则以该结果为基准并结合式(10),在弹性模量为E时,其r阶模态弹性应变能比为:

${R^{(r)}} = \frac{{V_v^{(r)}}}{{V_e^{(r)} + V_v^{(r)}}} = \frac{{\frac{E}{{{E_{ref}}}}V_{vref}^{(r)}}}{{V_{eref}^{(r)} + \frac{E}{{{E_{ref}}}}V_{vref}^{(r)}}} = \frac{{E'}}{{\frac{1}{{R_{ref}^{(r)}}} - 1 + E'}}{\text{。}}$

(11)

式中:$V_{vref}^{(r)}$为阻尼弹性模量为

${E_{ref}}$时的阻尼层r阶模态应变能;$V_{eref}^{(r)}$为弹性层r阶模态应变能;$E'$为粘弹性阻尼材料弹性模量E与基准弹性模量

${E_{ref}}$之比。

在结构模态应变能计算过程中,阻尼的损耗因子对模态应变能计算结果无影响,即粘弹性阻尼的频变效应对式(9)中的弹性应变能比

${R^{(r)}}$无影响,仅改变材料损耗因子

${\eta _v}$,因此考虑粘弹性材料损耗因子的频变效应时,式(9)可变为:

${\xi ^{(r)}}{\rm{ = }}{\eta _v}{R^{(r)}}{\rm{ = }}{\eta _v}({\omega _r}) \cdot {R^{(r)}}{\text{。}}$

(12)

结合式(11)、式(12),可以得到同时考虑粘弹性阻尼损耗因子和弹性模量频变效应的模态损耗因子的修正计算公式为:

$\xi _{{\omega _r}}^{^{(r)}} = {\eta _v}({\omega _r}) \cdot \frac{{E'({\omega _r})}}{{\frac{1}{{R_{_{ref}}^{(r)}}} - 1 + E'({\omega _r})}}{\text{。}}$

(13)

式中:$\xi _{{\omega _r}}^{^{(r)}}$为频率

${\omega _r}$时的r阶模态损耗因子;$E'({\omega _r})$为频率

${\omega _r}$时粘弹性阻尼材料弹性模量

$E({\omega _r})$与基准弹性模量

${E_{ref}}$之比;${\eta _v}({\omega _r})$为频率

${\omega _r}$时粘弹性材料损耗因子。

2 粘弹性阻尼压筋板算例验证

利用修正计算公式(13)计算阻尼结构的模态损耗因子时,取关注频率范围内阻尼弹性模量均值作为参考弹性模量

${E_{ref}}$,求出该弹性模量下各阶模态下的弹性应变能比

$R_{ref}^{(r)}$,再根据模态频率

${\omega _r}$求得对应的弹性模量

$E({\omega _r})$,代入式(13)求得结构模态损耗因子。

图 1

采用修正公式计算模态损耗因子流程

Fig. 1

Calculating modal loss factor by correction formula

为了对修正公式(13)进行验证,选取了文献[3。对于粘弹性阻尼材料,其厚度为6 mm,在25 ℃时弹性模量E和损耗因子与频率f的关系如下:

${\rm {Log}}E = 7.51 + \frac{{2.27{f^{0.79}}}}{{67.6 + {f^{0.79}}}}{\text{,}}$

(14)

${\rm {Log}}\eta = 0.23 - 0.1{\rm {Log}}f - 0.02\sqrt {1 + 25{{({\rm {Log}}f - 2.04)}^2}}{\text{。}} $

(15)

模型的弹性层用板单元进行模拟,阻尼层用体单元进行模拟,为了正确模拟弹性层和阻尼层的接触情况,板单元节点位置向下偏置一半板厚,压筋部分不进行阻尼处理。

图 2

压筋板有限元模拟方式

Fig. 2

Finite element simulation of ribbed plate

图 3

压筋板有限元模型

Fig. 3

Finite element model of ribbed plate

采用修正计算公式(13),取阻尼基准弹性模量E=75 MPa进行模态损耗因子的计算,结果如

表 1(Tab. 1)

表 1 压筋板模态损耗因子的计算与试验对比

Tab. 1 Comparison of calculation and experimental modal loss factor

模态

文献[

计算值

(修正前)

相对试验值

的误差

计算值

(修正后)

相对试验值

的误差/%

模态1

0.015 4

0.024 4

58.3

0.015 5

0.94

模态2

0.019 7

0.030 6

55.4

0.023 0

16.83

模态3

0.025 0

0.026 2

4.8%

0.023 7

−5.08

模态4

0.035 9

0.030 5

−15.2

0.037 8

5.42

模态5

0.034 1

0.028 6

−16.3

0.039 5

15.77

表 1 压筋板模态损耗因子的计算与试验对比

Tab.1 Comparison of calculation and experimental modal loss factor

3 考虑频变的粘弹性阻尼加筋板随机响应研究3.1 随机响应简介

完整的随机响应由输入随机激励、振动系统和输出随机响应组成。其中随机激励、随机响应以功率谱密度的形式表示(PSD)。随机系统的响应分析可分为2步:一是求取系统的传递函数;二是根据输入激励PSD谱,通过传递函数求取系统的随机响应PSD谱。

图 4

随机响应示意图

Fig. 4

Random response diagram

在工程中一般会关注每个1/3倍频程的加速度有效值以及整个频率范围内的加速度有效值,2个加速度的定义分别如下:

${a_{1/3}} = \sqrt {\int_{{f_l}}^{{f_u}} {PSD{\rm d}f} } {\text{。}}$

(16)

${a_{mean}} = \sqrt {\sum {a_{1/3}^2} } {\text{。}}$

(17)

式中:PSD为随机响应输出加速度谱;fl和fu分别为1/3倍频程加速度上限和下限;${a_{1/3}}$为1/3倍频程加速度有效值;${a_{mean}}$为频率段加速度有效值。

表 2(Tab. 2)

表 2 1/3倍频程范围

Tab. 2 Range of 1/3 octave

中心频率/Hz

频率下限/Hz

频率上限/Hz

100

89.1

112

125

112

141

160

141

178

200

178

224

250

224

282

表 2 1/3倍频程范围

Tab.2 Range of 1/3 octave

3.2 粘弹性阻尼加筋板随机响应试验

试验模型为某船双层底内底加筋板结构,板厚为10 mm,设计尺寸为1000×1270 mm,沿短边方向间隔390 mm设置了2根10号球扁钢。因工装设计要求,模型沿纵向、横向向四周分别延伸200 mm,板的总尺寸相应变为1400 mm×1570 mm,骨材也相应延伸,如

图 5

船舶加筋板试验模型

Fig. 5

Model of ribbed plate in experiment

图 6

试验支撑基座

Fig. 6

Support base in experiment

加筋板模型钢材为Q235钢,敷设阻尼材料为丁基橡胶,厚度为20 mm,密度为1 700 kg/m3,泊松比为0.49,丁基橡胶的损耗因子和弹性模量的频变特性如[。

图 7

丁基橡胶频变特性图

Fig. 7

Frequency change characteristic of butyl rubber

试验中采用单点激励多点输出的方式,并使用传递函数法进行数据分析。激振器的激振力通过安装在激振杆和试件之间的力传感器测得,激振信号为${a_{1/3}}$及整个频率段加速度有效值

${a_{mean}}$。

图 8

随机激励PSD谱

Fig. 8

Random incentive PSD spectrum

图 9

试验测点分布

Fig. 9

Test nodes distribution

3.3 粘弹性阻尼加筋板随机响应计算

计算模型随机响应时,首先采用模态应变能法并结合修正公式(13)计算得到模态损耗因子,然后利用模态叠加法求得结构的传递函数,最后根据激励PSD谱

${S_{xx}}(\omega )$和传递函数

$H(\omega )$并结合式(18)获得结构随机响应计算结果

${S_{yy}}(\omega )$。本文采用的随机响应计算流程如

图 10

随机响应计算流程

Fig. 10

Random response calculation process

${S_{yy}}(\omega ) = {\left| {H(\omega )} \right|^2}{S_{xx}}(\omega ){\text{。}}$

(18)

修正前后的各阶模态频率和模态损耗因子的计算结果如

表 3(Tab. 3)

表 3 阻尼加筋板模型的模态损耗因子计算值

Tab. 3 Calculation modal loss factor of the model

模态

频率/Hz

模态损耗因子

修正前

修正后

模态1

156.84

0.0098

0.0089

模态2

167.50

0.0066

0.0060

模态3

230.20

0.0053

0.0054

模态4

339.07

0.0112

0.0125

表 3 阻尼加筋板模型的模态损耗因子计算值

Tab.3 Calculation modal loss factor of the model

计算得到模态损耗因子后,利用模态叠加法求解MCK方程以获得结构的传递函数。根据式(2)~式(4)可知,刚度矩阵中含有阻尼刚度项,其阻尼弹性模量的频变特性不仅对模态损耗因子有较大影响,而且对MCK方程的刚度项也会产生直接的影响,进而影响传递函数的求解,因此,需要研究弹性模量的变化对随机响应计算结果的影响。常用粘弹性阻尼的弹性模量范围一般为10~250 MPa,仅考虑阻尼弹性模量对刚度矩阵的影响,获得一系列不同弹性模量取值下模型随机响应计算结果,如

图 11

加筋板加速度有效值随阻尼弹性模量变化图

Fig. 11

Acceleration RMS of stiffened plate with different damping elastic modulus

可以看出,粘弹性阻尼材料的弹性模量在常用范围内变化时,在不考虑弹性模量对模态阻尼比影响时,弹性模量的变化对随机响应计算结果影响较小。因此,在计算粘弹性阻尼结构随机响应时,仅考虑阻尼弹性模量频变效应对模态损耗因子的影响,忽略其与MCK方程刚度矩阵的耦合作用,即取阻尼材料的弹性模量为定值。

求得阻尼加筋板的传递函数后,根据输入激励PSD谱数据,进一步计算得到考虑粘弹性阻尼频变效应的随机响应结果,并与试验结果进行对比如

表 4(Tab. 4)

表 4 阻尼加筋板模型的随机响应计算值和试验值对比

Tab. 4 Comparison of calculation and experiment results of damped stiffened plate model

加速度有效值/

mm·s−2

1/3倍频程中心

频率/Hz

node7

node8

node12

node13

试验值

计算值

误差/%

试验值

计算值

误差/%

试验值

计算值

误差/%

试验值

计算值

误差/%

a1/3

100

4.07

3.34

–17.9

4.90

3.98

–18.9

13.12

12.46

–5.0

28.73

29.34

2.1

125

10.06

11.97

19.1

17.70

20.47

15.7

59.21

52.94

–10.6

98.91

100.07

1.2

160

162.40

181.21

11.6

257.17

289.31

12.5

420.36

353.13

–16.0

578.38

526.08

–9.0

200

55.60

51.15

–8.0

52.60

48.17

–8.4

101.09

117.61

16.3

8.41

10.02

19.2

250

50.55

46.62

–7.8

25.19

30.22

20.0

120.13

115.13

–4.2

47.27

45.49

–3.8

amean

179.28

194.38

8.4

264.34

295.59

11.8

452.81

393.37

–13.1

595.35

547.50

–8.0

表 4 阻尼加筋板模型的随机响应计算值和试验值对比

Tab.4 Comparison of calculation and experiment results of damped stiffened plate model

图 12

各测点频率段加速度有效值amean

Fig. 12

Acceleration RMS amean of each node

图 13

node7 1/3倍频程加速度有效值a1/3

Fig. 13

Acceleration RMS a1/3 of node7

图 14

node8 1/3倍频程加速度有效值a1/3

Fig. 14

Acceleration RMS a1/3 of node8

图 15

node12 1/3倍频程加速度有效值a1/3

Fig. 15

Acceleration RMS a1/3 of node12

图 16

node13 1/3倍频程加速度有效值a1/3

Fig. 16

Acceleration RMS a1/3 of node13

由${a_{mean}}$误差小于15%,在1/3倍频程段的加速度有效值

${a_{1/3}}$误差小于20%,能够满足工程精度要求。本文采用的随机响应计算流程和方法具有工程实用价值。

4 结 语

本文推导出同时考虑粘弹性阻尼损耗因子和弹性模量频变特性的模态损耗因子修正公式,并给出适用于粘弹性阻尼加筋板结构的随机响应计算流程。通过对阻尼压筋板模态损耗因子的算例验证,以及船舶阻尼加筋板随机响应的试验和计算研究,得出以下结论:

1)利用修正公式计算所得阻尼压筋板模态损耗因子与文献[

2)在随机响应计算中可忽略阻尼弹性模量频变与MCK方程刚度矩阵的耦合作用,仅考虑其对模态损耗因子的影响。

3)采用基于修正模态阻尼损耗因子的随机响应计算流程,可以获得较好的数值计算结果,相关修正公式和计算方法可以为阻尼减振的工程应用提供参考。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/409355.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

自定义圆形倒计时Android,Android自定义View倒计时圆

本文实例为大家分享了Android自定义View倒计时圆的具体代码,供大家参考,具体内容如下创建attr创建DisplayUtil 类import android.content.Context;/*** Created by 王 on 2017/10/21.*/public class DisplayUtil {/*** 将px装换成dp,保证尺寸…

网络编程的4种IO模型

selectFD_ZERO初始化FD_SET将socket加进去select轮询当socket的事件发生时,fd_set里面有相关的socket,如果没有socket有事件发生,select返回0FD_ISSET检测,socket是否还在fd_set里,是的话,表示这个socket有…

pandas 合并所有列_图解Python表格操作包Pandas

Pandas 是 Python 的核心数据分析支持库,提供了快速、灵活、明确的数据结构,旨在简单、直观地处理关系型、标记型数据。Pandas 的目标是成为 Python 数据分析实践与实战的必备高级工具,其长远目标是成为最强大、最灵活、可以支持任何语言的开…

android ndk gcc,Android NDK GCC似乎是铿锵的 - 它应该是这样吗?

刚刚下载的NDK在链接旧项目时失败:/usr/bin/ld: unrecognised emulation mode: armelf_linux_eabi看来,clang隐藏在gcc的面具后面:/opt/android-ndk-r18b/toolchains/arm-linux-androideabi-4.9/prebuilt/linux-x86_64/bin/arm-linux-androideabi-gcc --versionAndroid (475164…

三年的php简历_PHP程序员个人简历

PHP程序员个人简历2003/10—现在:***公司所属行业:计算机软件*&*银沙网站PHP程序员主要职责:能独立应用PHPMySQL进行网站开发,合理的应用PHPMVC模式,并使用Smarty或使用自制的.类似Smarty缓冲机制的模版引擎。了解…

VC小技巧(网上搜的)

一、打开CD-ROM mciSendString("Set cdAudio door open wait",NULL,0,NULL); 二、关闭CD_ROM mciSendString("Set cdAudio door closed wait",NULL,0,NULL); 三、关闭计算机 OSVERSIONINFO OsVersionInfo; //包含操作系统版本信息的数据结构 OsVersionInfo…

html下划线 下移,css如何实现下划线滑动效果

本文主要讲述两种下划线动效效果,第一种悬停时X轴由内向外展开实现动画效果,第二种为左右自动展示,由左向右,或由右向左。实现的主要效果是利用伪类标签,以及hover,利用transfromm trition实现动画效果。x轴由内向外展…

已知网友建立html,职称计算机模拟试题:Dreamweaver网页设计模拟试题及答案(5)...

52、在使用时间链时,用“Record Path of Layer”命令记录层的路径,关于关键点的说法正确的是(CD)A、用户拖动层的速度越快,则划分出的关键点越多B、用户拖动层的速度越快,则划分出的关键点越少C、用户可以通过改变拖动的速度来变更…

r语言 将表格导出为csv_如何将R语言中表格数据输出为Excel文件.pdf

如何将R 语言中的表格数据输出为Excel 文件熊荣川六盘水师范学院生物信息学实验室xiongrongchuan126.com/u/Bearjazz平台的开放性使得R 语言具有了丰富的运算功能,使得一些表格数据不能在Excel 中实现的运算(或是较为繁琐的运算)可以在导入R 语言之后得到快速而容易…

安装Ecshop首页出现报错:Only variables should be passed by referen

出现下面这就话: Strict Standards: Only variables should be passed by reference in E:\Tools\ECShop_V2.7.3_UTF8_release1106\upload\includes\cls_template.phpon line 418第418行:$tag_sel array_shift(explode( , $tag)); 解决办法 1 5.3以上版…

html设计网页技巧,网页设计技巧:网页表格设计技巧总结

一个好的表格应该以易于理解,简单明了的方式传递大量的信息。真正的重点应该 放在信息上, 对表格的过度设计会抵消这种作用。从另一方面来说,巧妙的设计不仅可以使一个表格更具吸引力, 而且可以增加可读性。表格信息通常是很乏味的…

multi task训练torch_手把手教你使用PyTorch(2)-requires_gradamp;computation graph

import torch1. Requires_grad但是,模型毕竟不是人,它的智力水平还不足够去自主辨识那些量的梯度需要计算,既然如此,就需要手动对其进行标记。在PyTorch中,通用的数据结构tensor包含一个attributerequires_grad&#x…

【原】unity shader(3)反射贴图

改编自《cg教程--可编程实时图形学权威指南》上的demo。 反射向量计算公式 RI-2N(N*I) 备注N*I是点乘 I入射光线,N法向量 函数实现: float3 reflect(float3 I,float3 N) { return I-2.0*N*dot(N,I); } Shader "CG shader Reflect"{Propertie…