[线性代数]Note 1--方程组的几何解释

这是记录麻省理工学院公开课：线性代数的笔记，网址是麻省理工公开课：线性代数
第一节课说的是有关方程组的几何解释。网址是方程组的几何解释

首先是介绍方程组的几何解释，提出可以用矩阵表示，然后矩阵表示有两种表达方式，分别是行图像和列图像。行图像比较常见，比如两条直线相交，而列图像则比较少见。

两个未知数两个方程

然后老师举例说明，首先是两个方程组两个未知数的例子，例子如下所示：

{2 x - y = 0 - x + 3 y = 3

$\begin{cases} \ 2x-y = 0 \\\ -x+3y= 3 \end{cases}$

用行图像表示如下所示：

[2 - 1 - 1 3] [x y] = [03]

$\left[\begin{matrix}2 & -1 \\-1 & 3 \\\end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0\\ 3 \end{matrix}\right]$

这里用A= $\left[\begin{matrix}2 & -1 \\-1 & 3 \\\end{matrix} \right]$ ,x = $\left[\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right]$ ,b= $\left[\begin{matrix} 0\\ 3 \end{matrix}\right]$ ,可以得到Ax =b

这里表示的就是两条直线，并且它们相交于点(1,2)。

如果是用列向量，则如下所示：

x [2 - 1] + y [- 1 3] = [03]

$x\left[\begin{matrix}2 \\-1 \end{matrix} \right] + y\left[\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0\\ 3 \end{matrix}\right]$

对于这种写法，老师称之为列向量的线性组合，然后在二维坐标平面上表示了这两个向量，而这个列向量的线性组合的解，其实在用行图像表示的时候已经得到了，就是x=1, y=2。

三个未知数三个方程组

接着老师给出了三个未知数的情况，举例如下所示

⎧ ⎩ ⎨ 2 x - y = 0 - x + 2 y - z = - 1 - 3 y + 4 z = 4

$\begin{cases} \ 2x-y = 0 \\\ -x+2y-z = -1 \\\ -3y+4z = 4\end{cases}$
使用行图像表示， A =

⎡⎣⎢2−10−12−30−14⎤⎦⎥ $\left[\begin{matrix}2 & -1 & 0\\-1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 4\end{matrix}\right]$ , b=

⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥ $\left[\begin{matrix}0\\-1\\4\end{matrix}\right]$ ,

使用列图像表示是如下所示：

x ⎡ ⎣ ⎢ 2 - 1 0 ⎤ ⎦ ⎥ + y ⎡ ⎣ ⎢ - 1 2 - 3 ⎤ ⎦ ⎥ + z ⎡ ⎣ ⎢ 0 - 1 4 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 0 - 1 4 ⎤ ⎦ ⎥

$x\left[ \begin{matrix}2\\-1\\0\end{matrix} \right]+y\left[ \begin{matrix}-1\\2\\-3\end{matrix} \right]+z\left[ \begin{matrix}0\\-1\\4\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0\\-1\\4\end{matrix} \right]$

如果通过行图像来求解，需要通过在三维坐标轴上画出3个平面求平面的交点，这是非常困难的。(这里老师也说了下一节课会介绍消元法来求解)。

而如果看列图像，则可以轻松得到答案：x=0,y=0,z=1，当然这是老师特意设计的题目，所以才这么容易得到这个答案。

然后老师就问了一个问题：

对任意的b，都能令Ax = b有解吗？
这个问题对于这个三个未知数的例子来说，等价于这个例子中的列向量的线性组合是否能覆盖整个三维空间？

这里的答案当然是不能确定的，如果三个列向量都是在同一个平面上，那么得到的解也就只是在同一个平面的。

矩阵向量相乘的解法

最后老师介绍了矩阵与向量相乘的两种解法，首先是一个例子

[2153] [12]

$\left[ \begin{matrix}2 & 5\\1 & 3\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$
两种解法分别是按照行向量还是列向量来解答的。

第一种，如果是按照列向量解答，则可以写成如下所示：

[2153] [12] = 1 [21] + 2 [53] = [127]

$\left[ \begin{matrix}2 & 5\\1 & 3\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right] = 1\left[ \begin{matrix}2 \\1\end{matrix}\right]+ 2 \left[ \begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right]$

第二种，就是按行来求解，如下所示：

[2153] [12] = [2 * 1 + 5 * 2 1 * 1 + 3 * 2] = [127]

$\left[ \begin{matrix}2 & 5\\1 & 3\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix}2*1+5*2\\1*1+3*2\end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right]$
也就是第一个矩阵的第一行乘以第二个向量的对应列，然后第二行乘以第二个向量的对应列。

这种解法也是当初刚开始学习线性代数所学习的方法。