[线性代数]Note2--矩阵消元

第二节介绍矩阵消元的知识.

消元法

首先是给出一个例子来说明消元法的使用，例子如下所示：

⎧ ⎩ ⎨ x + 2 y + z = 2 3 x + 8 y + z = 12 4 y + z = 2

$\begin{cases} x+2y+z=2 \\ 3x+8y+z=12 \\4y+z=2 \end{cases}$

用矩阵表示就是

A = ⎡ ⎣ ⎢ 130284111 ⎤ ⎦ ⎥ b = ⎡ ⎣ ⎢ 2122 ⎤ ⎦ ⎥

$A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right] b = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 12 \\ 2 \end{matrix} \right]$

消元法的步骤首先是方程1乘以某个系数，然后方程2减去它，使得让方程2的x的系数变为0，然后同理让方程3的y的系数变为0。做法如下所示：

$\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 \\ 12 \\ 2 \end{matrix} \right]$ =>(方程1乘以3 ) $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 2 \end{matrix} \right]$ =>(方程2乘以2) $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{matrix} \right]$

这里就得到了

u = ⎡ ⎣ ⎢ 100220 1 - 2 5 ⎤ ⎦ ⎥ c = ⎡ ⎣ ⎢ 26 - 10 ⎤ ⎦ ⎥

$u = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right] c = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{matrix} \right]$

当得到矩阵u和c后，就可以进行会代，即如下方程组

⎧ ⎩ ⎨ x + 2 y + z = 2 2 y - 2 z = 6 5 z = - 10

$\begin{cases} x+2y+z=2 \\ 2y-2z=6 \\5z=-10 \end{cases}$

自然就得到答案

⎧ ⎩ ⎨ x = 2 y = 1 z = - 2

$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \\ z=-2 \end{cases}$

这里的矩阵是可逆的，所以可以使用消元法，但是还是存在一些矩阵是不适用于消元法的，比如如果该例子中方程组1的x系数是0，这个时候需要使用如行交换的方法来得到适合使用消元法的矩阵。

矩阵消元

这里将介绍使用矩阵变换来使用消元法。

第一步

⎡ ⎣ ⎢ 1 - 3 0 010001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 130284111 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 100224 1 - 2 1 ⎤ ⎦ ⎥

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right]$

第一个矩阵称之为初等矩阵，记为 $E_{21}$ ,表示修改的是第二行第一列的位置，而保持第一行和第三行不变，实际上是在单位矩阵 $\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$ 的基础上进行修改，如果是直接跟单位矩阵相乘，那么就是得到相同的结果，而现在是需要将第二行减去第一行乘以3的结果，而第二行第一列的值乘以的就是第二个方程的第一行的值，然后再相加，实现的效果是一样的。

第二步

⎡ ⎣ ⎢ 100 01 - 2 001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 100224 1 - 2 1 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 100220 1 - 2 5 ⎤ ⎦ ⎥

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right]$

第一个矩阵也是初等矩阵，记为 $E_{32}$ ,表示修改的是第三行第二列的位置，而保持第一行和第二行不变。

上述两步可以表示为
$E_{32}$ ( $E_{21}$ A) = u

这里可以使用乘法的结合律，也就是( $E_{32}$ $E_{21}$ ) A= u。

但是注意这里是不适用交换律的。

这里可以求解 $E_{32}$ $E_{21}$ 的值，但是老师说可以有更好的方法，就是求逆矩阵。即求让矩阵U变回矩阵A的矩阵。如下所示

⎡ ⎣ ⎢ 130010001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 3 0 010001 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

三个矩阵分别记为 $E^{-1}$ ,E,I。

（这个求解逆矩阵的方法，暂时还没想明白为什么更好）

置换矩阵

最后老师讲解了一个置换矩阵的知识点，这个和本节课的内容并不太相关。

首先是一个行交换的例子。

[0110] [a c b d] = [c a d b]

$\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} c & d \\ a & b \end{matrix} \right]$

第一个矩阵就是置换矩阵P，实现对第二个矩阵的行交换。

而如果是列交换，则如下所示

[a c b d] [0110] = [b d a c]

$\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} b & a \\ d & c \end{matrix} \right]$

这里也说明了矩阵的交换律，即如BA = AB是不成立的。