继续是线性代数的学习笔记,这次的笔记包含第四、五、六节三节课的内容。
第四节课是介绍A的LU分解。A的LU分解是指将矩阵A分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。其主要应用在数值分析中,用来解线性方程、求反矩阵或者计算行列式。
第五节课是介绍转置-置换-向量空间,介绍了转置矩阵,置换矩阵以及向量空间的基本概念。
第六节课是介绍列空间和零空间,介绍了向量空间中的两种空间–列空间和零空间。
乘积的逆
首先是介绍如何求解两个矩阵乘积的逆。
假设矩阵A和B都是可逆矩阵,也就是有AA−1=BB−1=I,则两者的乘积(AB)(B−1A−1)=I,同理也有B−1A−1AB=I。
另外如果AA−1=I,则对A,A−1转置,有(A−1)TAT=I,也就是说矩阵A转置的逆矩阵等于逆矩阵A−1的转置。
A的LU分解
要实现对矩阵A的LU分解,首先需要将A通过初等行交换变成一个上三角矩阵,其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。
比如,有一个矩阵A=[2817],那么其变换矩阵为E21=[1−401],既有如下所示:
从而有 A=LU−−>[2817]=[1401][2013]
也就是说这里得到的下三角矩阵L其实是变换矩阵
而如果矩阵A是一个
所以有:
此外,对于A=LU,如果不存在行交换,则消元系数可以直接写在L中。就如上述第一个例子中得到的矩阵L=[1401],其中的l21=4就是消元的系数。
置换矩阵
置换矩阵就是行重新排列了的单位矩阵,记作P,它可以完成行互换。
对任意可逆的矩阵A,有
一个n×n的置换矩阵的可能个数为n!=n(n−1)⋯2∗1。
最后对于置换矩阵,有一个性质,即P−1=PT,即置换矩阵的逆矩阵就是置换矩阵的转置矩阵。所以也有PTP=I。
转置
转置符号用T表示,其公式为(A)Tij=Aji。
一个对称的矩阵有AT=A,比如矩阵⎡⎣⎢317129794⎤⎦⎥就是一个对称矩阵,也满足这个性质。
更进一步有对于矩阵A=RTR,则A必然是对称的。
令矩阵R=[132341],有RTR=⎡⎣⎢124331⎤⎦⎥[132341]=⎡⎣⎢1011711131171117⎤⎦⎥
这里可以通过再对该式子求转置来验证,即(RTR)=RTR。
向量空间R
向量空间是包括许多向量的空间。
R2表示的是所有的二维实向量组成的空间,并且默认是列向量,例如[32],[00],[πe]。
同理,R3表示的就是所有三维实向量组成的空间,Rn就是所有n维实向量组成的空间。
向量空间必须满足的条件是对数乘和加法,或者对线性组合是封闭的。也就是说在向量空间内的任意向量,其加上同一空间另一个向量所得到的向量必须也存在该向量空间内,并且其乘以任何一个数得到的向量也存在该向量空间内。
对于子空间,在R2内的子空间有3种,包括R2本身,还有就是过原点的直线,以及零向量。
而R3内的子空间则有4种,包括R3,零向量,过原点的平面和直线。
对于在R3内的两个子空间P和L,其并集,即P⋃L并不是一个子空间,但是其交集P⋂L则是R3的子空间。
列空间
假设有一个矩阵A,其列空间是由其各列的线性组合构成的,记作
设A=⎡⎣⎢⎢⎢123411112345⎤⎦⎥⎥⎥,对于Ax=b,对任意的b并不总是有解的。
只有满足当且仅当向量
零空间
矩阵A的零空间
利用上述给定的矩阵
下面证明Ax=0的解总是构成一个子空间。
如果Av=0,Aw=0,那么则有A(v+w)=Av+Aw=0,也就是如果向量v,w在零空间,则v+w也是在零空间的。同理可证明如果Av=0,有A(cv)=0,其中c是一个任意实数。
小结
本节内容首先是介绍了矩阵A的