[线性代数]Note4--A的LU分解转置-置换-向量空间

继续是线性代数的学习笔记,这次的笔记包含第四、五、六节三节课的内容。

第四节课是介绍A的LU分解。A的LU分解是指将矩阵A分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。其主要应用在数值分析中,用来解线性方程、求反矩阵或者计算行列式。

第五节课是介绍转置-置换-向量空间,介绍了转置矩阵,置换矩阵以及向量空间的基本概念。

第六节课是介绍列空间和零空间,介绍了向量空间中的两种空间–列空间和零空间。

乘积的逆

首先是介绍如何求解两个矩阵乘积的逆。

假设矩阵A和B都是可逆矩阵,也就是有AA1=BB1=I,则两者的乘积(AB)(B1A1)=I,同理也有B1A1AB=I

另外如果AA1=I,则对A,A1转置,有(A1)TAT=I,也就是说矩阵A转置的逆矩阵等于逆矩阵A1的转置。

A的LU分解

要实现对矩阵A的LU分解,首先需要将A通过初等行交换变成一个上三角矩阵,其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。

比如,有一个矩阵A=[2817],那么其变换矩阵为E21=[1401],既有如下所示:

E21A=[1401][2817]=[2013]=U

从而有 A=LU>[2817]=[1401][2013]

也就是说这里得到的下三角矩阵L其实是变换矩阵E21将其第二行第一列的元素取正值后的矩阵。

而如果矩阵A是一个3×3的矩阵,也是同样的道理,先使用初等行变换变成一个上三角矩阵,而这里需要让矩阵A的元素a21a31a32都变为0,所以变换矩阵分别是E21E31E32,即有

E32E31E21A=U

所以有:

A=E121E131E132U=LU

此外,对于A=LU,如果不存在行交换,则消元系数可以直接写在L中。就如上述第一个例子中得到的矩阵L=[1401],其中的l21=4就是消元的系数。

置换矩阵

置换矩阵就是行重新排列了的单位矩阵,记作P,它可以完成行互换。

对任意可逆的矩阵A,有PA=LU

一个n×n的置换矩阵的可能个数为n!=n(n1)21

最后对于置换矩阵,有一个性质,即P1=PT,即置换矩阵的逆矩阵就是置换矩阵的转置矩阵。所以也有PTP=I

转置

转置符号用T表示,其公式为(A)Tij=Aji

一个对称的矩阵有AT=A,比如矩阵317129794就是一个对称矩阵,也满足这个性质。

更进一步有对于矩阵A=RTR,则A必然是对称的。

令矩阵R=[132341],有RTR=124331[132341]=1011711131171117

这里可以通过再对该式子求转置来验证,即(RTR)=RTR

向量空间R

向量空间是包括许多向量的空间。

R2表示的是所有的二维实向量组成的空间,并且默认是列向量,例如[32],[00],[πe]

同理,R3表示的就是所有三维实向量组成的空间,Rn就是所有n维实向量组成的空间。

向量空间必须满足的条件是对数乘和加法,或者对线性组合是封闭的。也就是说在向量空间内的任意向量,其加上同一空间另一个向量所得到的向量必须也存在该向量空间内,并且其乘以任何一个数得到的向量也存在该向量空间内。

对于子空间,在R2内的子空间有3种,包括R2本身,还有就是过原点的直线,以及零向量

R3内的子空间则有4种,包括R3,零向量,过原点的平面和直线。

对于在R3内的两个子空间PL,其并集,即PL并不是一个子空间,但是其交集PL则是R3的子空间。

列空间

假设有一个矩阵A,其列空间是由其各列的线性组合构成的,记作C(A)

A=123411112345,对于Ax=b,对任意的b并不总是有解的。

只有满足当且仅当向量bA各列的线性组合,即存在于C(A)中,才总是有解的。这是因为A的列空间是包含A各列的所有线性组合的。

零空间

矩阵A的零空间N(A)=满足Ax=0的解,即向量x

利用上述给定的矩阵A,有Ax=123411112345x1x2x3=0000,则其中一个解必定是零向量000,即零向量肯定是存在零空间的,而继续研究可以知道还有满足如111,222,也就是形如ccc,其中c是任意实数,也就是这是一个R3空间中的一条过原点的直线。

下面证明Ax=0的解总是构成一个子空间。

如果Av=0,Aw=0,那么则有A(v+w)=Av+Aw=0,也就是如果向量v,w在零空间,则v+w也是在零空间的。同理可证明如果Av=0,有A(cv)=0,其中c是一个任意实数。

小结

本节内容首先是介绍了矩阵ALU分解以及其解法,然后介绍了置换矩阵,转置,向量空间,包括列空间和零空间在内的基本概念。

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