KKT条件第一项是说最优点必须满足所有等式及不等式限制条件，也就是说最优点必须是一个可行解，这一点自然是毋庸置疑的。第二项表明在最优点 x*， ∇f 必須是 ∇hj 和 ∇gk 的线性組合，和都叫作拉格朗日乘子。所不同的是不等式限制条件有方向性，所以每一个 kµ都必须大於或等於零，而等式限制条件没有方向性，所 以 jλ没有符号的限制，其符号要视等式限制条件的写法而定。

设想我们优化如下的目标函数：

minimize    f_0(x)

s.t.        f_i(x)<=0,  i=1,2,...,m

h_i(x)=0,   i=1,2,...,p

我们把这个目标函数称为原函数

构造该函数的对偶函数如下：

maximize

g(r,v)=inf_x {f_0(x)+sum_{i=1}^m r_i*f_i(x)+sum_{i=1}^p v_i*h_i(x)}

s.t.    r_i>=0  i=1,2,...,m

假设x'是原函数的一个可行点(满足原函数的约束)，r',v'是对偶函数的一个可行点

因为r'_i>=0,f_i(x')<=0,所以sum_{i=1}^m r'_i*f_i(x')<=0,同理

sum_{i=1}^p v'_i*h_i(x')=0

因此，我们有，对于任意的满足原函数约束的x和满足对偶函数约束的r,v

g(r,v)<={f_0(x)+sum_{i=1}^m r_i*f_i(x)+sum_{i=1}^p v_i*h_i(x)}

<=f_0(x)

记x^* 为原函数的一个最优点，最优值为p^*

r^*,v^*为对偶函数的一个最优点，最优值为d^*

我们有

p^*>=d^*(weak duality)

如果x^*,r^*,v^*能够使得p^*=d^*成立，

则称strong duality成立，即

f_0(x^*)=g(r^*,v^*)

现在假设strong duality能够成立，并且假设x^*是原函数的最优解,r^*,v^*为对偶函数

的一个最优点，那么

f_0(x^*)=g(r^*,v^*)

=inf_x {f_0(x)+sum_{i=1}^m r^*_i*f_i(x)+sum_{i=1}^p v^*_i*h_i(x)}

<=f_0(x^*)+sum_{i=1}^m r^*_i*f_i(x^*)+sum_{i=1}^p v^*_i*h_i(x^*)

<=f_0(x^*)

第一个等式是strong duality，第二行等式是对偶函数的定义，第三行不等式是inf的定

义，第四行不等式是因为r^*_i>=0,f_i(x^*)<=0,h_i(x^*)=0

因此，我们有sum_{i=1}^m r^*_i*f_i(x^*)=0,

因为对每个i, r^*_i*f_i(x^*)<=0，

所以有

r^*_i*f_i(x^*)=0(Complementary slackness)

因为x^*是使得g(r^*,v^*)最小的点，(注意上面的第三行等式成立)

所以g(r^*,v^*)关于x的导数在x^*处为0

f_0'(x^*)+sum_{i=1}^m r^*_i*f_i'(x^*)+sum_{i=1}^p v^*_i*h_i'(x^*)=0

综上所述我们得到了f_0(x^*)=g(r^*,v^*)的条件：

f_i(x^*)<=0     i=1,2,...,m

h_i(x^*)=0      i=1,2,...,p

r^*_i>=0        i=1,2,...,m

r^*_i*f_i(x^*)=0    i=1,2,...,m

f_0'(x^*)+sum_{i=1}^m r^*_i*f_i'(x^*)+sum_{i=1}^p v^*_i*h_i'(x^*)=0

这就是KKT条件~~

以上是摘自Information Retrieval Blog的部分内容，希望对你能有点点启发~~