每日一题：leetcode1489. 找到最小生成树里的关键边和伪关键边

时隔多年我终于又开始写博客了，主要是已经放假了，之前一直忙于考试和课设没有时间写博客，学习笔记也因为买了iPad的缘故大部分都是手写的了。

假期想要把以前做过的项目都整理一下放在github和CSDN上。

也已经很久没有写算法题了，直接导致今天这道题虽然我看了题解但是自己还是写了好久。

题目描述

传送门
在这里插入图片描述

题目解析

题解有两种解法
第一种解法比较朴素，就是按照关键边和伪关键边的定义。
关键边：在所有MST中都会出现的边
关键边性质：删除以后只能得到一个边权和更大的MST（或者无法得到MST）
伪关键边：会出现在一些MST中但是不会出现在所有MST中的边

因此，我们对每条边先判断是不是关键边，如果不是再判断是否是伪关键边。
判断关键边的思路很清晰，就是删去这条边再判断是否还能得到和之前边权和相同的MST。

但是判断伪关键边就有一些技巧了：我们很难得到所有的最小生成树，对于一条边我们如何判断这条边在不在MST中呢，题解的做法是最先将这条边加入到MST中，然后再对剩下的求解MST，如果最后MST和之前的权值和相同则说明这条边在MST中。

我和题解不同的做法在于（我认为是一点小优化）：

刚开始需要求一次MST，求关键边的时候只枚举这个MST中的边（其他的边不可能在伪关键边中）
使用kind数组记录每条边的属性，在求完所有的关键边以后再求伪关键边，如果某条边已经在一个MST中则直接加入伪关键边（因为他不是关键边，满足伪关键边的定义）

第二种我直接没有看，因为Tarjan算法我已经忘光了，而且这道题好像还用到了kraskal算法的一个性质（并不知道

在Kruskal 算法中，对于任意的实数 w，只要我们将给定的边按照权值从小到大进行排序，那么当我们按照顺序处理完所有权值小于等于 w 的边之后，对应的并查集的连通性是唯一确定的，无论我们在排序时如何规定权值相同的边的顺序。

感觉太难了，不想看了。

AC代码

class Solution {
public:static constexpr int MAXN = 105;int father[MAXN];int kind[MAXN*MAXN];int m;  //边数int value = 0;int root(int x) {return x == father[x] ? x : (father[x] = root(father[x]));}void merge(int u, int v) {father[root(u)] = root(v);}vector<int> critical_edges;vector<int> pseudo_critical_edges;/*** 求已经删去第del条边的图的最小生成树* 并差集的状态为father* cnt用来记录当前该最小生成树中有多少条边* ret用来记录当前最小生成树的权值和*/int kruskal(const int n, const vector<vector<int>> &edges, int del, int cnt, int ret) {for (int i = 0; i < m; ++i) {if (i == del) {//如果是已经删除的边，则跳过continue;}int u = edges[i][0];int v = edges[i][1];if (root(u) != root(v)) {merge(u, v);ret += edges[i][2];++cnt;if (kind[i] == -1 && del == -1)kind[i] = 0;    //表示该边是某个最小生成树的一条边}}if (cnt == n-1) {//说明形成了最小生成树return ret;} else {//说明原本不是一个连通分量return value + 122;}}static bool compare(const vector<int>& a, const vector<int>& b) {return a[2] < b[2];}vector<vector<int>> findCriticalAndPseudoCriticalEdges(int n, vector<vector<int>>& edges) {memset(kind, -1, sizeof(kind));m = edges.size();for (int i = 0; i < m; ++i) {edges[i].push_back(i);}sort(edges.begin(), edges.end(), compare);for (int i = 0; i < n; ++i) {//并查集的初始化father[i] = i;}value = kruskal(n, edges, -1, 0, 0);//寻找关键边for (int i = 0; i < m; ++i) {if (kind[i] == -1) {//不是生成树中的边continue;}for (int i = 0; i < n; ++i) {//并查集的初始化father[i] = i;}int v = kruskal(n, edges, i, 0, 0);if (v > value) {//说明是关键边kind[i] = 1;critical_edges.push_back(edges[i][3]);}}//寻找伪关键边for (int i = 0; i < m; ++i) {if (kind[i] == 1) continue; //关键边不可能是伪关键边if (kind[i] == 0) {//如果在某个生成树中还不是关键边则一定是伪关键边pseudo_critical_edges.push_back(edges[i][3]);continue;}//对于普通边，首先将其加入到生成树中，然后再判断for (int i = 0; i < n; ++i) {//并查集的初始化father[i] = i;}merge(edges[i][0], edges[i][1]);int v = kruskal(n, edges, -1, 1, edges[i][2]);if (v == value) {//说明加入这条边以后仍然能够得到最小生成树，是伪关键边pseudo_critical_edges.push_back(edges[i][3]);}}return {critical_edges, pseudo_critical_edges};}
};

官方题解代码

// 并查集模板
class UnionFind {
public:vector<int> parent;vector<int> size;int n;// 当前连通分量数目int setCount;public:UnionFind(int _n): n(_n), setCount(_n), parent(_n), size(_n, 1) {iota(parent.begin(), parent.end(), 0);}int findset(int x) {return parent[x] == x ? x : parent[x] = findset(parent[x]);}bool unite(int x, int y) {x = findset(x);y = findset(y);if (x == y) {return false;}if (size[x] < size[y]) {swap(x, y);}parent[y] = x;size[x] += size[y];--setCount;return true;}bool connected(int x, int y) {x = findset(x);y = findset(y);return x == y;}
};class Solution {
public:vector<vector<int>> findCriticalAndPseudoCriticalEdges(int n, vector<vector<int>>& edges) {int m = edges.size();for (int i = 0; i < m; ++i) {edges[i].push_back(i);}sort(edges.begin(), edges.end(), [](const auto& u, const auto& v) {return u[2] < v[2];});// 计算 valueUnionFind uf_std(n);int value = 0;for (int i = 0; i < m; ++i) {if (uf_std.unite(edges[i][0], edges[i][1])) {value += edges[i][2];}}vector<vector<int>> ans(2);for (int i = 0; i < m; ++i) {// 判断是否是关键边UnionFind uf(n);int v = 0;for (int j = 0; j < m; ++j) {if (i != j && uf.unite(edges[j][0], edges[j][1])) {v += edges[j][2];}}if (uf.setCount != 1 || (uf.setCount == 1 && v > value)) {ans[0].push_back(edges[i][3]);continue;}// 判断是否是伪关键边uf = UnionFind(n);uf.unite(edges[i][0], edges[i][1]);v = edges[i][2];for (int j = 0; j < m; ++j) {if (i != j && uf.unite(edges[j][0], edges[j][1])) {v += edges[j][2];}}if (v == value) {ans[1].push_back(edges[i][3]);}}return ans;}
};//作者：LeetCode-Solution
//链接：https://leetcode-cn.com/problems/find-critical-and-pseudo-critical-edges-in-minimum-spanning-tree/solution/zhao-dao-zui-xiao-sheng-cheng-shu-li-de-gu57q/
//来源：力扣（LeetCode）
//著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。