对矩阵A进行初等行变换相当于左乘一个可逆矩阵P。
把A看作是列向量组，若有Ax=0，则其中的x就说明了列向量的线性关系：
[ α 1 , α 2 , α 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 ] \left[ \alpha_1 ,\alpha_2, \alpha_3 \right] \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\end{bmatrix} [α1,α2,α3] x1x2x3 =[0]
x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = 0 x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=0 x1α1+x2α2+x3α3=0
若对A进行初等行变换后得到了 P A x = 0 PAx=0 PAx=0，知 A x = 0 Ax=0 Ax=0与 P A x = 0 PAx=0 PAx=0同解，就说明了x也适用于矩阵 P A PA PA的列向量之间的线性关系
所以 A A A 与 P A PA PA 的列向量有相同的线性关系。
此外， P A PA PA的行向量组与A的行向量组等价。把A看作是行向量组，若 P A = B PA=B PA=B，有：
[ p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 ] [ α 1 α 2 α 3 ] = [ β 1 β 2 β 3 ] = [ p 11 α 1 + p 12 α 2 + p 13 α 3 p 21 α 1 + p 22 α 2 + p 23 α 3 p 31 α 1 + p 32 α 2 + p 33 α 3 ] \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha _3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p_{11}\alpha _{1}+p_{12}\alpha_2 +p_{13}\alpha _{3} \\ p_{21}\alpha _{1}+p_{22}\alpha_2+p_{23}\alpha_3 \\ p_{31}\alpha _{1}+p_{32}\alpha_2+p_{33}\alpha_3 \end{bmatrix} p11p21p31p12p22p32p13p23p33 α1α2α3 = β1β2β3 = p11α1+p12α2+p13α3p21α1+p22α2+p23α3p31α1+p32α2+p33α3
可知矩阵B的每一个行向量都能用矩阵A的行向量进行线性表出。又由于矩阵P可逆，故 A = P − 1 B A=P^{-1}B A=P−1B，同理可知矩阵A的每一个行向量也可由矩阵B的行向量进行线性表出。
因此矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。
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