3130: [Sdoi2013]费用流
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Description
Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题:给定一张有向图表示运输网络,一个源点S和一个汇点T,每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足:(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负;(2)除了源点S和汇点T之外,对于其余所有点,都满足该点总流入流量等于该点总流出流量;而S点的净流出流量等于T点的净流入流量,这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络,求总运输量最大的网络流方案。
上图表示了一个最大流问题。对于每条边,右边的数代表该边的最大流量,左边的数代表在最优解中,该边的实际流量。需要注意到,一个最大流问题的解可能不是唯一的。 对于一张给定的运输网络,Alice先确定一个最大流,如果有多种解,Alice可以任选一种;之后Bob在每条边上分配单位花费(单位花费必须是非负实数),要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到,Bob在分配单位花费之前,已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小,而Bob希望总费用尽量大。我们想知道,如果两个人都执行最优策略,最大流的值和总费用分别为多少。
Input
第一行三个整数N,M,P。N表示给定运输网络中节点的数量,M表示有向边的数量,P的含义见问题描述部分。为了简化问题,我们假设源点S是点1,汇点T是点N。
接下来M行,每行三个整数A,B,C,表示有一条从点A到点B的有向边,其最大流量是C。
Output
第一行一个整数,表示最大流的值。
第二行一个实数,表示总费用。建议选手输出四位以上小数。
Sample Input
1 2 10
2 3 15
Sample Output
10.0000
HINT
【样例说明】
对于Alice,最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。
对于Bob,给第一条边分配0.5的费用,第二条边分配0.5的费用。总费用
为:10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。
【数据规模和约定】
对于20%的测试数据:所有有向边的最大流量都是1。
对于100%的测试数据:N < = 100,M < = 1000。
对于l00%的测试数据:所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流
量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。
- 第一问不用说了
- 假设现在已经有了一个最大流的方案,那么Bob一定会把 P 的费用全用到流量最大的那条边上
- 也就是说要让最大流量的边最小
- 二分边的最大流看,检查是否还能求得同样大小的最大流
- 注意要实数二分,不能整数二分
最大流本身是一定的整数,但是为满足最优解,某一条边的流量可以是实数。所以这题是实数网络流!
实数二分好坑.........不要m+-1,不要保留一个ans,只是简单的二分l和r行了,最后取那一个都行
// // main.cpp // sdoi2003费用流 // // Created by Candy on 25/11/2016. // Copyright © 2016 Candy. All rights reserved. // #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int N=105,M=1005,INF=1e9; const double eps=1e-5; int read(){char c=getchar();int x=0,f=1;while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}return x*f; } int n,m,p,u,v,c,s,t; struct data{int u,v,c; }a[M]; struct edge{int v,ne;double c,f; }e[M<<1]; int h[N],cnt=0; inline void ins(int u,int v,double c){cnt++;e[cnt].v=v;e[cnt].c=c;e[cnt].f=0;e[cnt].ne=h[u];h[u]=cnt;cnt++;e[cnt].v=u;e[cnt].c=0;e[cnt].f=0;e[cnt].ne=h[v];h[v]=cnt; } void build(double mid){cnt=0;memset(h,0,sizeof(h));for(int i=1;i<=m;i++) ins(a[i].u,a[i].v,min((double)a[i].c,mid)); } int cur[N]; int d[N],vis[N],q[N],head,tail; bool bfs(){memset(vis,0,sizeof(vis));memset(d,0,sizeof(d));head=tail=1;d[s]=0;vis[s]=1;q[tail++]=s;while(head!=tail){int u=q[head++];for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){int v=e[i].v;if(!vis[v]&&e[i].c>e[i].f){d[v]=d[u]+1;vis[v]=1;q[tail++]=v;if(v==t) return 1;}}}return 0; }double dfs(int u,double a){if(u==t||a==0) return a;double flow=0,f;for(int &i=cur[u];i;i=e[i].ne){int v=e[i].v;if(d[v]==d[u]+1&&(f=dfs(v,min(a,e[i].c-e[i].f)))>0){flow+=f;e[i].f+=f;e[((i-1)^1)+1].f-=f;a-=f;if(a==0) break;}}return flow; } double dinic(){double flow=0;while(bfs()){for(int i=1;i<=n;i++) cur[i]=h[i];flow+=dfs(s,INF);}return flow; } int main(int argc, const char * argv[]) {n=read();m=read();p=read();s=1;t=n;double l=0,r=0;for(int i=1;i<=m;i++){a[i].u=read(),a[i].v=read(),a[i].c=read();ins(a[i].u,a[i].v,a[i].c);r=max(r,(double)a[i].c);}//r+=eps;double old=dinic();while(r-l>eps){double mid=(l+r)*0.5;//printf("%f %f\n",l,r); build(mid);double mx=dinic();if(fabs(mx-old)<eps) r=mid;else l=mid;}printf("%d\n%.4f",(int)old,l*p);return 0; }