虚树是用来优化树形dp的东西，它的转移是从一些特殊点，向根节点转移，期间它有用的转移点比较特殊。通常询问次数较多，但特殊点总和较少，就可以每次询问先建虚树再跑dp。单调栈建虚树$O(klogn)$，$k$为特殊点数，$n$为原树上点数

虚树的点数为特殊点两倍

单调栈构造虚树，强制根节点为1（或者先加入dfs最小的特殊点），便于统计答案

void build(){std::sort(a+1,a+1+m,[&](int i,int j){return dfn[i]<dfn[j];});int top=0;cnt=0;stk[++top]=1;head[1]=0;//顺便清空之前的虚树，也可以直接遍历一遍虚树清除for (int i=1;i<=m;i++){if (a[i]!=1){//全程不用管top大小int lc=lca(stk[top],a[i]);if (lc!=stk[top]){//当前节点已不再当前栈维护的链上while (dfn[lc]<dfn[stk[top-1]]){//一直跳出，并添加已经确定的边add(stk[top-1],stk[top],0);top--;}if (dfn[lc]>dfn[stk[top-1]]){//lc之前没有加入到栈中head[lc]=0;add(lc,stk[top--],0);stk[++top]=lc;}else{//lc加入过栈add(lc,stk[top--],0);}}//最后只要把a[i]加入该链head[a[i]]=0;stk[++top]=a[i];}}for (int i=1;i<top;i++){add(stk[i],stk[i+1],0);//将链上的节点依次建边}
}

P2495 [SDOI2011] 消耗战
正常的每次询问跑一边树形dp时间爆炸，所以直接建虚树跑树形dp，在原树上要维护一个点 $x$ 到根节点的最小断边 $f_x$。转移直接分情况：
当前点为特殊点，必须将$u$分离出来，$d{p}_u=f_u$
当前点不为特殊点，可以将$u$直接分离，或者让$u$从其已经分离的子树分离，$d{p}_u=min(f_u,\sum d{p}_v)$

CF613D Kingdom and its Cities
如果有一条边连接的都是重要城市，输出-1
建完虚树，比较暴力的跑就是$d{p}_{u,0/1}$表示$u$子树合法，与$u$连通的块中无/有一个特殊点，所需的最小代价
对于$u$为特殊点，很显然只能转移到$d{p}_{u,1}$，和孩子节点全分开
$d{p}_{u,1}=\sum (min(d{p}_{v,0},d{p}_{v,1})+1)$
对于$u$不为特殊点，$d{p}_{u,0}$转移同上
$d{p}_{u,1}$就是特意留下一个$d{p}_{v,1}$转移过来且不断开（这里转移就很不好搞了）

我们发现一个贪心性质，就是能留特殊点，就尽量留下来，所以我们就可以省一维，然后多开一个数组$f_u$来存储包含$u$的连通块是否包含特殊点，等到向父亲传递转移时，迫不得已再断开

CF1111E Tree
先按照原树dfs序建虚树（根节点不再是1，选择特殊点中dfs序最小的那个，一定要加入$r$），然后换虚树根跑dp
dp状态部分很平常，因为它是分了组的，联想到第二类斯特林的递推式。

$d{p}_{u,j}=(j-ba{d}_u)\ast d{p}_{u,j}+d{p}_{u,j-1}$，$ba{d}_u$表示根节点到$u$路径上特殊点个数
放入已有组，或新开一个组单独放入，遍历顺序我们只需保证在遍历到$u$时，$ba{d}_u$已经求出来了即可，常规dfs就可以了