【线性代数】3-5:独立性，基和维度(Independence,Basis and Dimension)

title: 【线性代数】3-5:独立性，基和维度(Independence,Basis and Dimension)
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• Mathematic
• Linear Algebra
  keywords:
• Independence
• Basis
• Dimension
• Span
  toc: true
  date: 2017-09-25 15:20:46

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Abstract: 本文是本章最重要的知识点，也是整个线性代数中非常核心的内容，包括independence ，basis和dimension等多个概念
Keywords: Independence，Basis，Dimension，Span

开篇废话

在没有系统学习线性代数之前，对很多里面的名词有所畏惧，现在思考发现，很多听不懂的名词都是因为不明白背后的原理和知识才会产生畏惧，也有可能这个名词背后真的蕴藏的一个非常深奥的系统知识，但是如果我们慢慢的从头开始抽丝剥茧的把每一个知识点都掌握了，最后听到这个名词就会觉得这是个很平常的词汇而已，但是没有学习之前就会一头雾水，还有一个感觉就是，如果这些基础知识不掌握，论文种可能是个很简单的过程，作者略过了，如果基础不牢就会迷惑，或者自己瞎猜，其实迷惑不可怕，起码自己知道这里有问题，但是瞎猜就有问题了，而且还猜的理直气壮，觉得自己猜的都对，这种人是永远不会进步的。
今天我们就逐个解释线性代数中比较常出现的几个非常重要的概念。

Linear Independence

Linear Independence可以拆开看，Linear就是我们的基础关系，线性，满足线性组合的基本要求1-1:Linear Combinations有详细说明，就是满足add 和scalar的组合；Independence表示独立，谁和谁也不相关，其实不相关的这个概念在概率论中让我记忆深刻的，而且一直也不懂到底是啥意思（现在也不懂），不相关就是没办法关联起来。
现在抛弃上面的所有思路，从矩阵角度来看，矩阵角度也就是向量角度，因为Linear Independence是针对***向量***矩阵是向量合起来写的一种方式：

Definition: The columns of A are linearly independent when the only solution to $Ax=0$ is $x=0$ No other combination $Ax$ of the columns gives the zero vector

定义是说，当向量汇聚成矩阵后，矩阵的nullspace只有0向量的时候，这些向量线性独立，nullspace只有0，说明elimination后的rank=column number。这样nullspace就只有0了。
另一个定义：

Definition: The sequence of vectors v1,…,vnv_1,\dots,v_nv1​,…,vn​ is linearly Independence if the only combination that gives the zero vector is 0v1+0v2+⋯+0vn0v_1+0v_2+ \dots +0v_n0v1​+0v2​+⋯+0vn​

x1v1+x2v2+⋯+xnvn=0x_1v_1+x_2v_2+\dots+x_nv_n=0x1​v1​+x2​v2​+⋯+xn​vn​=0 only happens when all x’s are zero

只有当x全是0的时候，组合向量v才能得到0，其他x不能完成这个任务，就说这些v线性独立。
注意，只有向量有线性独立的说法，一个矩阵不能线性独立，当然entry是矩阵的向量也可以线性独立，那就有点复杂了，不过也是一样的道理，满足条件就可以。
如果向量sequence中包含0向量，那么这个他们不会Linear Independence。
上面提到了rank和矩阵大小的关系对是否线性相关有影响，当$r=n\le m$时，线性独立，但是当$r\le m<n$时，必然线性相关。
在另一本书上《Linear algebra done right》上说当一个向量sequence里其中一个可以被其他线性组合出来，那么他们线性相关，否则线性无关，这个和上面的nullspace的说法含以上是一致的，但是感觉更形象。

Vectors that Span a Subspace（Row Space）

本来想写span但是总记得已经写过了，回去一查果然有说明，span的概念比较好理解，就是若干个向量通过线性组合得到的一个向量空间（满足向量空间的所有要求），具体的说明可以复习下：Span.列向量是矩阵中所有的列span成的空间。
举个? ：
v1=[10]v2=[01] v_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\\ v_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} v1​=[10​]v2​=[01​]

这两个向量可以线性组合出二维实数空间的所有向量，也就是说v1v_1v1​和v2v_2v2​ span ℜ2\Re^2ℜ2
前面我们介绍过列空间，矩阵列span出来的空间，对应的，矩阵每行span出来的空间叫做row space，矩阵A的row space与ATA^TAT的column space相同。
A=[142735] A=\begin{bmatrix} 1&amp;4\\ 2&amp;7\\ 3&amp;5 \end{bmatrix}\\ A=⎣⎡​123​475​⎦⎤​
这个矩阵的列空间：
C(A)=x1[123]+x2[475] C(A)= x_1 \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}+ x_2 \begin{bmatrix} 4\\ 7\\ 5 \end{bmatrix} C(A)=x1​⎣⎡​123​⎦⎤​+x2​⎣⎡​475​⎦⎤​
行空间：
C(AT)=x1[14]+x2[27]+x3[35] C(A^T)= x_1 \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}+x_2 \begin{bmatrix}2\\7\end{bmatrix}+x_3 \begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix} C(AT)=x1​[14​]+x2​[27​]+x3​[35​]
同样的矩阵，同样的数字，组合出来的空间却完全不同，列向量在 ℜm\Re^mℜm中，行向量在 ℜn\Re^nℜn

Basis（基）

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