P1310 表达式的值
题目描述
给你一个带括号的布尔表达式，其中+表示或操作|，*表示与操作&，先算*再算+。但是待操作的数字（布尔值）不输入。
求能使最终整个式子的值为0的方案数。
题外话
不久之前我在codewars上做过一道类似的题目。
以及把它搬运到了洛谷上。
布尔表达式计数问题
考虑这样一个问题：
有两个布尔变量\(x\)和\(y\)。
我们知道使\(x\)等于1的方案有\(x_1\)种，等于0的方案有\(x_0\)种；使\(y\)等于1的方案有\(y_1\)种，等于0的方案有\(y_0\)种。
那么：
使\(x\&y\)为1的方案数？为0的方案数？
使\(x|y\)为1的方案数？为0的方案数？
使\(x\oplus y\)（通常我们使用\(\oplus\)表示异或）为1的方案数？为0的方案数？
不难发现：
使\(x\&y\)为1，那么\(x\)和\(y\)都要为1，所以方案数为\(x_1*y_1\)。
使\(x\&y\)为0，那么\(x\)和\(y\)不能都为1，所以方案数为\(x_1*y_0+x_0*y_1+x_0*y_0\)。
使\(x|y\)为1的方案数为\(x_1*y_1+x_0*y_1+x_1*y_0\)，为0的方案数为\(x_0*y_0\)。
使\(x\oplus y\)为1的方案数为\(x_0*y_1+x_1*y_0\)，为0的方案数为\(x_0*y_0+x_1*y_1\)。
表达式树，前缀表达式，中缀表达式，后缀表达式
表达式树
\((1+2)*4\)
如上图，每个叶节点是一个数字，其他节点都是（双目）运算符。
整棵树表示一个表达式。每个子树表示一个子表达式。
计算这个表达式的方式如下图。
所以值为12。
中序遍历
中序遍历这个表达式树，我们发现得到的结果几乎和原来的表达式一样。
只是需要加一些括号罢了。
处理方法：我们可以给每个子树前后都加一对括号。
前/后序遍历
称前序遍历得到的式子为前缀表达式，或者波兰表达式。称后序遍历得到的式子为后缀表达式，或者逆波兰表达式。
前缀表达式和后缀表达式都拥有一个优秀的性质：不需要括号。
（下面仅以后缀表达式为例）
比如上文的\((1+2)*4\)，改为后缀表达式就是：\(1\ 2\ +\ 4\ *\)。
如何计算后缀表达式
我们可以用栈来处理：
遇到数字，入栈；遇到符号，从栈里取出两个数字，按照这个符号运算，然后把结果入栈。最后栈里剩下的就是结果。
\(1\ 2\ +\ 4\ *\)的计算过程如下：
| 1入栈 | 1 | |
| 2入栈 | 1 | 2 |
| 1 2出栈，相加得3，3入栈 | 3 | |
| 4入栈 | 3 | 4 |
| 3 4出栈，相乘得12，12入栈 | 12 |
所以答案是12。
如何转化为后缀表达式
你可以直接建树，跑后序遍历。
但是这样又不好写，又慢。
我们考虑用栈维护。
遍历中缀表达式：
遇到数字，直接放入答案序列
遇到左括号，入栈
- 遇到右括号，把栈顶到上一个左括号的元素依次出栈并放入答案序列
- 遇到乘号，入栈
- 遇到加号，从栈顶开始弹出这段连续的乘号，并放入答案序列，最后加号入栈
最后把栈里剩下的元素依次放入答案序列
为什么是正确的？
模拟\(1+1*2*(1+2)+3*2*(1*5)+1\)
| 说明 | 栈 | 答案序列 |
|---|---|---|
| 1放入答案序列 | 1 | |
| +入栈 | + | 1 |
| 1放入答案序列 | + | 11 |
| *入栈 | +* | 11 |
| 2放入答案序列 | +* | 112 |
| *入栈 | +** | 112 |
| (入栈 | +**( | 112 |
| 1放入答案序列 | +**( | 1121 |
| +入栈 | +**(+ | 1121 |
| 2放入答案序列 | +**(+ | 11212 |
| 出现)，+出栈并放入答案序列，(出栈 | +** | 11212+ |
| 出现+，弹出栈顶的*并放入答案序列，然后+入栈 | ++ | 11212+** |
| 3放入答案序列 | ++ | 11212+**3 |
| *入栈 | ++* | 11212+**3 |
| 2放入答案序列 | ++* | 11212+**32 |
| *入栈 | ++** | 11212+**32 |
| (入栈 | ++**( | 11212+**32 |
| 1放入答案序列 | ++**( | 11212+**321 |
| *入栈 | ++**(* | 11212+**321 |
| 5放入答案序列 | ++**(* | 11212+**3215 |
| 出现)，*出栈并放入答案序列，(出栈 | ++** | 11212+**3215* |
| 出现+，弹出栈顶的*并放入答案序列，然后+入栈 | +++ | 11212+**3215*** |
| 1放入答案序列 | +++ | 11212+**3215***1 |
| 剩余栈中元素放入答案序列 | 11212+**3215***1+++ |
所以答案是11212+**3215***1+++。
正确性？
\[ \begin{aligned} 11212+**3215***1+++&=112(12+)**32(15*)**1+++\\ &=1123**325**1+++\\ &=11(23*)*3(25*)*1+++\\ &=116*3(10)*1+++\\ &=1(16*)(3(10)*)1+++\\ &=16(30)1+++\\ &=16(31)++\\ &=1(37)+\\ &=38\\ \\ 1+1*2*(1+2)+3*2*(1*5)+1&=1+2*3+6*5+1\\ &=1+6+30+1\\ &=38\\ \end{aligned} \]
P1310题解
首先在输入的表达式的恰当位置插入未知变量，然后转为后缀表达式。当然也可以一边转，一边插入未知变量。
之后，我们计算这个后缀表达式的值。不过维护的信息不再是表达式的值，而是使表达式值为0或1的方案数。
注意到单个变量为0或1的方案数为1.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int &num)
{bool flag = 0;num = 0;char c = getchar();while ((c < '0' || c > '9') && c != '-')c = getchar();if (c == '-'){flag = 1;c = getchar();}num = c - '0';c = getchar();while (c >= '0' && c <= '9')num = (num << 3) + (num << 1) + c - '0', c = getchar();if (flag)num *= -1;
}
inline void output(int num)
{if (num < 0){putchar('-');num = -num;}if (num >= 10)output(num / 10);putchar(num % 10 + '0');
}
inline void outln(int num)
{output(num);puts("");
}
inline void outln(string str)
{puts(str.c_str());
}
//以上为头文件和快读
const int mod = 10007;
const int N = 100001;
int n;
char str[N]; //输入的中缀表达式
stack<char> sta; //转后缀表达式时使用的栈
string final; //后缀表达式（答案序列）
stack<int> zero, one; //zero维护使表达式值为0的方案个数，one维护使表达式值为1的方案个数
int main()
{read(n);scanf("%s", str + 1);final.push_back('n'); //后缀表达式最开始应该有一个未知变量for (int i = 1; i <= n; i++){if (str[i] == '(' || str[i] == '*') //遇到左括号或乘号，入栈sta.push(str[i]);if (str[i] == '+') //遇到加号，弹出栈顶的乘号，然后加号入栈{while (!sta.empty() && sta.top() == '*'){final.push_back(sta.top());sta.pop();}sta.push(str[i]);}if (str[i] == ')') //右括号，把到上一个左括号的元素出栈放入答案序列{while (sta.top() != '('){final.push_back(sta.top());sta.pop();}sta.pop();}if (str[i] != '(' && str[i] != ')') //当不是左括号或者右括号时，应该插入一个未知变量{final.push_back('n');}}while (!sta.empty()) //剩下的元素放入答案序列{final.push_back(sta.top());sta.pop();}for (char c : final) //遍历后缀表达式，这里使用了c++11的写法，相当于
// for (int i = 0; i < final.size(); i++)
// { char c = final[i];{if (c == 'n') //单个变量，方案数为1{one.push(1);zero.push(1);}else{//rone表示右操作数（即上文中的y）为1的方案数（即上文中的y1），rzero同理int rone = one.top(), rzero = zero.top();one.pop();zero.pop();//同理int lone = one.top(), lzero = zero.top();one.pop();zero.pop();if (c == '*') //与操作，为1需要都为1，为0需要不都为1{one.push(lone * rone % mod);zero.push((lone * rzero % mod + lzero * rone % mod + lzero * rzero % mod) % mod);}else //或操作，为0需要都为0，为1需要不都为0{zero.push(lzero * rzero % mod);one.push((lone * rzero % mod + lzero * rone % mod + lone * rone % mod) % mod);}}}outln(zero.top());//需要整个表达式的值为0
}
