组合数学部分：
基础公式：
定义:从n个不同的元素中, 取r个并按次序排列, 称为从n中取r个的一个排列, 全部这样的排列数记为P(n, r).
定义: 从n个不同的元素中, 取r个但是不考虑次序时候, 称为从n中取r个的一个组合, 全部这样的组合总数记为C(n, r).
定义: 从n个不同的元素中, 取r个沿一圆周排列, 称为从n中取r个的一个圆周排列, 全部这样的排列数记为Q(n, r).
牛顿二项式公式：
推广牛顿二项式公式:
常用公式：
第二类Stirling数
有以下性质(用于等价关系划分个数计算)：
;
;
;
.
多重集合的一个r组合，
，则这个序列个数等于S的r组合个数为
,用一一对应的方法来做。
母函数与递归关系：
设多重集
, 则的 r-(可重)排列数是
.
定理：设
，且
,则S的排列数等于
定义: 利用给定序列
所构造的函数
称为序列
的母函数
母函数的运算
设序列
的母函数
,
的母函数为
. 运算定义如下:
(1) 相等:A(x)=B(x) <=>
=
<=>
=
, i=1,2,…
(2) 相加: A(x)+B(x)=
(3) 相减: A(x)-B(x)=
(4) 数乘: cA(x)=
(5) 相乘: A(x)B(x)=
, 其中
=
,
=
=
=
(6) 逆: 如果A(x)B(x)=1, 则称B(x)为A(x)的逆, 记为B(x)=
=
.
一元二次方程的根的通解：
常系数齐次递归关系：
如
，则递归关系上式为一元
次方程，即
次特征方程如下：
设
(i=1,2,...)为特征方程的根，则有：
如果
为不同实数根则
的一般解如下：
如果
为i个重复特征根则
的一般解如下：
当特征方程为二次方程，
和
是特征方程的，当
时，
，当
(重根)，则
。
仅有两个复特征根：
当特征根为复数时，则有任意复数
都可以写成
,故可设两个复数特征根如下：
其中
图论：
欧拉公式：
，R为区域，V为顶点，E为边。
一个无向图
是连通图，那么E的数目大于等于顶点的数目减1，即
。
完全二部图的定义：设G=(V，E)为二分图，V=XUY，且X中的任一顶点与Y中每一个顶点均有且仅有唯一的一条边相连，则称G为完全二部图或完全偶图。
【定理一】图G是2-可着色的当且仅当G是二部图。
【定理二】奇圈和奇数阶轮图都是3-色图，而偶数阶轮图都是4-色图。
【定理三】树的着色数为2。
离散数学部分：
蕴含条件：
P是Q的充分条件时用：
一般词汇：(如果P那么Q，只要P就Q，P就Q)
Q是P的必要条件时用：
一般词汇：(只有P才Q，仅当P才Q，Q仅当P)
Q是P的充分且必要条件时用：
一般词汇：(当且仅当，充分且必要)
等价公式：
推理定律：
(附加)
(化简)
(假言推理)
主析取范式：
其中
是包含所有变元且该变元有且仅出现一次的合取式，称为小项。有n个变元，则有
。
主合取范式：
其中
是包含所有变元且该变元有且仅出现一次的析取式，称为大项。有n个变元，则有
。
集合论：
幂集定义：
即全部子集。 实例：
,
，计数：如果|A|=n，则|P(A)| =
【定理】非空集合S关于它上面的任何等价关系R的商集具有下列特点：S/R ≠ ∅；若A∈S/R，则A ≠ ∅；若A，B∈S/R，A≠B，则A∩B = ∅.
【定义】设A为非空集合，若存在A的一个子集族
满足：
, 则称
是A的一个划分，
中元素称为划分块。
【定理】设
为一个偏序集，若A的最长链的长度为n，则A存在n个划分块的划分，每个块都是反链。
关于对称差特性：A⊕A=∅，∅⊕A=A⊕∅=A
群的定义：一个非空集合G中如果定义了一个“乘法”运算，满足：
(1) 封闭性：
(2)结合律：
(3)有单位元：
(4)每个元
有逆元
：
， 则称
为一个群。
函数部分：
设 |A| =n，|B|=m, 一般说来A到B共有
个二元关系，A上共有
个二元关系，该知识点可以用0，1矩阵来理解在，m*n的矩阵中有m*n个0和1不同的组合，其总数为
种。
【定义】设F为二元关系，若对任意的
都存在唯一的
使得
成立，则称
为函数。
【定义】设是
集合，如果函数
满足以下条件：
(1)
(2)
则称
是从
到
的函数，记作
【定义】设函数
(1)若
(值域=B)，则称
是满射的。
(2)若对于任何的
,则称
是单射的。
(3)若
既是满射的，又是单射的，则称
是双射的。
举例说明：
,
是满射的，但不是单射的。
是单射的，但不是满射，
不包含奇数。
是双射的。
1.当
时，
中不含满射，从而不含双射函数；当
时，
中共含
个不同的单射函数；
2.当
时，
中含有
个双射函数；
3.当
时，
中不含单射函数，从而不含双射函数。
添加学习笔记：
牛顿二项式
推广牛顿二项式
组合基础
第二类斯特林公式
路径数问题
母函数
递推关系1
递推关系2
非齐次递推关系
整数拆分
可无限重复发码问题
指数型母函数
图论欧拉公式
r阶差分
容斥原理1
容斥原理2
错排问题
棋盘多项式
鸽笼原理
图论定义1
图论定义2
图论定义3
四色定理
树与图
Ramsey数
离散推理公式
