把最近在分析里学到的有趣的东西整理写一写，初学者不专业。

我们先来简单介绍Rudin的数学分析里Stone-Weierstrass定理的证明^[1]。

Stone-Weierstrass定理：对于任意定义在

上的连续（continuous）函数

，总存在一个多项式函数序列

可以一致收敛到这个函数

。

换句话说定义在

上的多项式函数空间在定义在

上的连续函数空间是稠密的，其中的度规为sup norm ，也就是

。由于闭区间是紧致的，所以其上的连续函数必定有界。证明的方式是如下构造，

不失一般性，我们假设(i)

， (ii)

(如果不是，我们可以定义

)，(iii)

对于

。同时定义一个多项式函数

在

上，后面我们会介绍，实际上我们构造了一个类Dirac-delta函数，而且它是一个好核函数。其中

为归一化参数。所以，

满足：(i)

，(ii) 对于任意

，

在

一致收敛到

。

通过卷积的方式定义新的函数

。我们通过变量代换

，可以得到

。其中

意味着

，而

是一个多项式函数，那么

是一个定义在

上的多项式函数，下面来说明

一致收敛到

，也就是需要证明，

当

，

。而

对于第一个式子我们可以用

的连续性，

对于第二个式子，我们可以用

有界

，以及

在

一致收敛到

，所以我们可以交换积分和极限的顺序，也就是说

根据极限的定义，我们可以选择一个

，当

给出

所以，当

，

，证毕。上述定理可以用卷积写出来。

下面我们来简单介绍卷积^[2]，首先是卷积的定义：

是一个

的周期函数，则卷积

由于周期性我们很容易计算得到

很多重要的式子可以用卷积来表示，比如傅立叶级数。首先我们定义狄利克雷核函数

而对于一个

的周期可积函数

，与其卷积为

其中，

，为傅立叶系数。所以

为傅立叶级数的部分和。卷积有一些性质：

是

的周期可积函数 (i)

(ii)

(iii)

(iv)

（v）

(vi)

是连续函数。如果这些函数都是连续的那么直接计算就可以了，如果仅仅是可积函数函数，就需要

逼近引理：对于定义在圆上的任意有界可积函数

，界为

，存在一个连续函数序列

，使得

对于任意

以及

换句话说，在

norm下，可积函数

可以被连续函数序列一致收敛逼近，所以我们可以把上述卷积的性质从连续函数推到可积函数。

接下来定义好核函数(Good kernel, Approximation of the identity)。我们最终需要找到的是一些类delta函数，因为

，可以把delta函数看作是函数空间的单位元(Identity)。而我们的目的是希望找到一个函数序列

，当

，

，但是我们得定义这个趋近的含义。也就有了好核函数的定义：对于定义在圆上的函数序列

，如果它满足 (i) 对于

，

(ii) 存在

使得对于所有的

，

(iii) 对于任意的

，

。当我们回顾Stone-Weierstrass证明的时候，实际上上述

就是一个“好核函数”，尽管定义域略微不同。满足上述条件的一般的好核函数会给出：如果

是一个可积函数，且在

处连续，以及

是定义在圆上的好核函数，那么

证明的方法类似于最开始Stone-Weierstrass定理证明中证明

。如果

连续，那么

一致收敛到

。可惜的是狄利克雷核函数

并不是一个好核函数，这也就意味着，即使函数在某点连续，它的傅立叶级数也不一定会在这一点收敛到这个函数。

不满足第二条，因为

发散。但是我们可以通过改变求和方式来达到一致收敛的效果，原来我们对傅立叶级数的求和解释为先求部分和，再取极限。在这种情况下，要想一致收敛，函数需要具有连续性，以及

，比如二阶连续可导函数，或者满足Holder连续的函数：存在常数

使得对于任意

，

。

，定义其部分和为

，定义其Nth Cesaro和为

，容易知道，如果

，则

。以狄利克雷核函数为例，其Cesaro和被叫做Fejer核，也就是

可以证明这是一个好核函数。也就是说

。换句话说，如果 可积函数

在某点

连续，那么其傅立叶级数在

是Cesaro可求和的。如果

，那么

在连续点处为零。同时也可以说明任意连续函数

可以被三角函数一致收敛逼近（Weierstrass逼近定理）。除了Cesaro求和，还有Abel求和：

，然后取

，如果极限存在，我们就说它是Abel可求和。我们举个例子，

，

，所以它Abel可求和，其和为

。对于傅立叶级数

，其Abel求和为

。很自然

。其中

为泊松核函数。将上述Abel和写成卷积的形式为

，其中可交换积分与极限的原因是因为泊松核函数在

上一致收敛。容易知道泊松核函数是一个好核函数，这也就意味着定义在圆上的可积函数在某点连续的话，那么该函数的傅立叶级数在这一点是阿贝尔可求和的。进一步，如果该函数连续，那么其傅立叶级数的Abel和会一致收敛回到这个函数。泊松函数在求解单位圆内的拉普拉斯方程上有应用。比如在单位圆内

，边界为

，如果将拉普拉斯算子写到极坐标，其解为

如果写成卷积的形式，为

参考

1. ^Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd Edition.
2. ^Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Fourier Analysis(2003).
3. ^满足Holder连续的函数的傅立叶级数一致收敛到它本身 https://math.stackexchange.com/questions/442059