卷积的概念

卷积算得上是信号与系统里面一个比较抽象的概念，它广泛应用在统计学、工程学，好多人明白了怎么做题，却仍然说不清楚卷积的概念，我们把它当作一种运算，它的运算形式如下：
有$f_1(t)f_2(t)$两个函数，要对它们进行卷积运算，看这个积分：
${\int }_{\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )\ast f_2(t-\tau )d\tau$
这个积分被称作卷积积分，它可以简单的表示为$f_1(t)\ast f_2(t)$,它就是卷积
观察函数可以得到，$f_2(t)$滞后于$f_1(t)$积分，在积分之前还要对$f_2(t)$进行一个翻折
它的由来则是由之前的LTI系统的线性，时不变性得到的：

最后的结果我们得到的是一个关于 $t$ 的函数！！！！！！
比方说题目中给你两个函数，让你卷积一下，第一步就先写：
$f(t)\ast g(t)$
后面写上卷积积分的形式：
${\int }_{\infty }^{\infty }f(\tau )\ast g(t-\tau )d\tau$
这里要注意的是这个$\tau$是一个虚设函数

卷积积分演变其他上下限的情况

1. $f_1(t)是因果信号$ $f_1(t)\ast \xi (t)$则 ${\int }_0^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$
2. $f_2(t)是因果信号$ $f_2(t)=f_2(t)\ast \xi$ 则 ${\int }_{-\infty }^t{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$
3. 卷积的两个函数都是因果信号的话，它们的积分上下限为$[0,t]$。
   我们来看一道例题
   
   我们可以发现这两个都是因果信号
   t的范围就可以确定了，是$[0,+\infty ]$
   但是$\tau$的值是不可能大于$t$的(由阶跃函数的图像）
   所以最终范围确定为$[0,t]$
   求解如下：
   

卷积的图解法

图解法较为直观，在特定情况下比较方便
过程如下：

举例如下：

这两个函数都可以换$\tau$，换的时候主要看哪个函数简单就换哪个，方便我们后续计算，那个简单的函数，被我们翻折之后，按照t的大小慢慢向右边移动，母庸置疑的是，如果这两个函数图像没有交集，结果一定是0。
$t\in [0,1]$，就是一个三角形面积的积分
$t\in [1,2]$，以及后面的积分也是一样的道理
看另外一个函数的图形横坐标最大是2，所以超过2的不要了
类似的题目，多练一下

卷积的运算性质

卷积的运算满足交换律、结合律、分配律：

奇异函数的卷积特性

注：奇异函数又被称为脉冲函数，有时候会遇到教材的叫法不太一样

可以发现$f(t)$与冲激函数卷积，冲激函数导数的阶数会被转移到卷积后的函数上面，最后那个$\xi (t)$，其实代表的是阶跃函数

卷积的微分性质

同样的，它有积分性质就有微分性质，如下：

特别的，关于$f(t{)}^{(-1)}$，必须要有关于$f(t)$在$t\to -\infty$为0这个条件成立的时候才满足：
$f_1(t)\ast f_2(t)=f_1^{\prime }(t)\ast f_2^{(-1)}(t)$

例题：

我们发现，它给的条件不满足第三个条件，所以我们这里只能使用定义做了，这里的技巧就是把复杂的放在前面，好算

再来一道：

这个时候，你会发现题中所给的式子满足那个条件了
看，为啥给你画那么一个图，不就在暗示你求一次导数吗？
求导之后多方便：

然后：

最后：