题目

相信学习信号检测与估计的童鞋们肯定看到过Steven M.Kay大牛的书，非常厚的一本，不得不说，人家的书就是写得好，浅显易懂（当然是要从头把基础的东西都掌握了），在估计部分第三章中例题3.4中遇到了下面这个公式，在习题3.7中要求证明，首先看题目
$$\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}\cos (4\pi f_{0}n+2\varphi )\approx 0$$
要使上式成立，$f_0$必须满足以下条件$$f_0\ne 0,f_0\ne 1/2$$

证明

令$$\alpha =4\pi f_0,\beta =2\varphi$$
则$$\begin{array}{l}\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}\cos (\alpha n+\beta )=\frac{1}{N}\mathrm{Re}\left(\sum _n{e}^{j(\alpha n+\beta )}\right)\\ =\frac{1}{N}\mathrm{Re}\left(e^{j\beta }\cdot \frac{1-e^{j\alpha N}}{1-e^{j\alpha }}\right)\\ =\frac{1}{N}\mathrm{Re}\left(e^{j\beta }\cdot \frac{e^{j\alpha N/2}}{e^{j\alpha /2}}\cdot \frac{e^{-j\alpha N/2}-e^{j\alpha N/2}}{e^{-j\alpha /2}-e^{j\alpha /2}}\right)\\ =\frac{1}{N}\mathrm{Re}\left(e^{j\beta }\cdot \frac{e^{j\alpha N/2}}{e^{j\alpha /2}}\cdot \frac{e^{-j\alpha N/2}-e^{j\alpha N/2}}{e^{-j\alpha /2}-e^{j\alpha /2}}\right)\\ =\frac{1}{N}\mathrm{Re}\left(e^{j\beta }\cdot e^{j\alpha \frac{N-1}{2}}\cdot \frac{\sin (\alpha N/2)}{\sin (\alpha /2)}\right)\\ =\frac{\sin (\alpha N/2)}{N\sin (\alpha /2)}\cdot \cos \left(\alpha \frac{N-1}{2}+\beta \right)\end{array}$$

结论

当$\alpha \ne 0,\alpha \ne 2\pi 时，即f_0\ne 0,f_0\ne 1/2时，原式约为0。$

得证