积化和差

$$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$$$$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$$$$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$$$$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$$

自相关与互相关

$$R_X(t_2,t_1)=R_X^{\ast }(t_1,t_2)$$$$R_{XY}(t_2,t_1)=R_{YX}^{\ast }(t_1,t_2)$$$$R_X(t_2,t_1)=R_X(\tau ),\tau =t_1-t_2$$

矩阵微分

$Y$、$B$和$R$均代表矩阵，$z$和$a$代表向量，上标T表示转置，$\ast$表示共轭，H表示共轭转置。
$$\frac{\partial Y^{T}B}{\partial B}=Y$$$$\frac{\partial B^{T}Y}{\partial B}=Y$$

规律总结： “前面”为转置，对“不转置”求导，结果为“另一个不转置”

$$\frac{\partial B^T{Y}^{T}YB}{\partial B}=2Y^{T}YB$$$$\frac{\partial B^{T}B}{\partial B}=2B$$$$\frac{\partial B^{T}WB}{\partial B}=WB+W^{T}B$$
特别地，$W^T=W$时，
$$\frac{\partial B^{T}WB}{\partial B}=WB+W^{T}B=2WB$$

复微分

下表给出了标量函数$f(\mathbf{w})$和向量函数$\mathbf{f}(\mathbf{w})$关于可变向量$\mathbf{w}$和${\mathbf{w}}^{\ast }$的复数微分结果。

函数类型	函数	变量$\mathbf{w}$	变量${\mathbf{w}}^{\ast }$
标量$f(\mathbf{w})$	$\mathrm{re}\left[{\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\mathbf{x}\right]$	$\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^{\ast }$	$\frac{1}{2}\mathbf{x}$
标量$f(\mathbf{w})$	${\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\mathbf{x}$	$0$	$\mathbf{x}$
标量$f(\mathbf{w})$	${\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}$	${\mathbf{x}}^{\ast }$	$0$
标量$f(\mathbf{w})$	${\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\mathbf{R}\mathbf{w}$	${\mathbf{R}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{w}}^{\ast }={\left({\mathbf{R}}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}\right)}^{\ast }$	$\mathbf{R}\mathbf{w}$
矢量$\mathbf{f}(\mathbf{w})$	${\mathbf{H}}_1\mathbf{w}+{\mathbf{H}}_2{\mathbf{w}}^{\ast }$	${\mathbf{H}}_1^{\mathrm{T}}$	${\mathbf{H}}_2^{\mathrm{T}}$

一个计算小技巧

已知基向量两两正交

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_m(t)f_n^{\ast }(t)dt=\delta (m-n)$$

$s(t)$可由基向量线性组合近似

$$\hat{s}(t)=\sum _{k=1}^K{s}_k{f}_k(t)$$

由误差与基向量正交，有

$$⟨s(t)-\hat{s}(t),f_n(t)⟩=0\Rightarrow s_n=⟨s(t),f_n(t)⟩$$

则误差的二范数为

${\epsilon }_e={\int }_{-\infty }^{\infty }(s(t)-\hat{s}(t)){(s(t)-\hat{s}(t))}^{\ast }dt$

$={\int }_{-\infty }^{\infty }|s(t){|}^{2}dt-{\int }_{-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^K{s}_k{f}_k(t)\cdot s^{\ast }(t)dt-⟨s(t)-\hat{s}(t),{\hat{s}}^{\ast }(t)⟩$

$={\int }_{-\infty }^{\infty }|s(t){|}^{2}dt-\sum _{k=1}^K{s}_k{[{\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)f_k^{\ast }(t)dt]}^{\ast }$

$={\int }_{-\infty }^{\infty }|s(t){|}^{2}dt-\sum _{k=1}^K{s}_k{s}_k^{\ast }$

$={\int }_{-\infty }^{\infty }|s(t){|}^{2}dt-\sum _{k=1}^K|s_k{|}^2$