问题
若矩阵A满足A+AT=IA+A^{\rm{T}}=IA+AT=I，则A可逆。
证明一
反证法。假设A不可逆，则
∃x0≠0\exists{x_0}\ne0∃x0=0，使得Ax0=0A{x_0}=0Ax0=0，则
x0AT=(Ax0)T=0T{x_0}{A^{\rm{T}}} = {(A{x_0})^{\rm{T}}} = {0^{\rm{T}}}x0AT=(Ax0)T=0T
∴0≠x0Tx0=x0T(A+AT)x0=x0TAx0+x0TATx0=x0T0+0Tx0=0\therefore 0 \ne x_0^{\rm{T}}{x_0} = x_0^{\rm{T}}(A + {A^{\rm{T}}}){x_0} = x_0^{\rm{T}}A{x_0} + x_0^{\rm{T}}{A^{\rm{T}}}{x_0} = x_0^{\rm{T}}0 + {0^{\rm{T}}}{x_0} = 0∴0=x0Tx0=x0T(A+AT)x0=x0TAx0+x0TATx0=x0T0+0Tx0=0
矛盾，所以A可逆。
证明二
