数值分析佳习题(含答案)
2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编
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第一章 绪论
姓名 学号 班级
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为,那么近似数0.003400有几位有效数字？(有效数字的计算)
解：，
故具有3位有效数字。
2 具有4位有效数字的近似值是多少？(有效数字的计算)
解：，欲使其近似值具有4位有效数字，必需
，，即
3 已知，是经过四舍五入后得到的近似值，问，有几位有效数字？(有效数字的计算)
解：，，而，
故至少具有2位有效数字。
故至少具有2位有效数字。
4 设，的相对误差为，求的误差和相对误差？(误差的计算)
解：已知，则误差为
则相对误差为
5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，已知，，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。(误差限的计算)
解：
绝对误差限为
相对误差限为
6 设的相对误差为,求的相对误差。(函数误差的计算)
解：，
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为，问度量半径时允许的相对误差限为多大？(函数误差的计算)
解：球体积为 ，
欲使，必须 。
8 设，求证：
(1)
(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。(计算方法的比较选择)
解：
如果初始误差为，若是向前递推，有
可见，初始误差的绝对值被逐步地扩大了。
如果是向后递推，其误差为
可见，初始误差的绝对值被逐步减少了。
第二章 插值法
姓名 学号 班级
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知，求的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)
解法一(待定系数法)：设，由插值条件，有
解得：。
故 。
解法二(基函数法)：由插值条件，有
2 已知，用线性插值求的近似值。(拉格朗日线性插值)
解：由插值节点与被插函数，可知，，，其线性插值函数为
的近似值为。
3 若为互异节点，且有
试证明。(拉格朗日插值基函数的性质)
解：考虑辅助函数，其中，，。
是次数不超过的多项式，在节点()处，有
这表明，有n+1个互异实根。
故，从而对于任意的均成立。
4 已知，用抛物线插值计算的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)
解：由插值条件，其抛物线插值函数为
将代入，计算可得：。
其余项为： 其中，
故误差的上界为：
。
5 用余弦函数在，，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。(拉格朗日二次插值)
解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为
绝对误差为：
相对误差为：
余项为：
，其中，
其余项的上界为：
比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。
6 已知函数值，求函数的四阶均差和二阶均差。(均差的计算)
解：采用列表法来计算各阶均差，有
x
y
一阶均差
二阶均差
三阶均差
四阶均差
0
6
1
10
4
3
46
18
14/3
4
82
36
6
1/3
6
212
65
29/3
11/15
1/15
从表中可查得：。
x
y
一阶均差
二阶均差
4
82
1
10
72/3
3
46
18
6
故。其实，根据均差的对称性，，该值在第一个表中就可以查到。
7 设求之值，其中，而节点互异。(均差的计算)
解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有
而 ，故。
8 如下函数值表
0
1
2
4
1
9
23
3
建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)
解：
先构造均差表
x
f(x)
一阶均差
二阶均差
三阶均差
0
1
1
9
8
2
23
14
3
4
3
-10
-8
-11/4
故 。
9求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，，，。(插值多项式的构造)
解法一(待定系数法)：设，则
，由插值条件，有
解得：。
故
解法二(带重节点的均差法)：据插值条件，造差商表
x
y
一阶差商
二阶差商
三阶差商
1
2
2
4
2
2
4
3
1
3
12
8
5
2
故
10 构造一个三次多项式，使它满足条件(埃尔米特插值)。
解：设，
利用插值条件，有
解得：。
11 设。(1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得，以升幂形式给出。(2)写出余项的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。
解：，，，，
设，
解得：，，，。
故 。
，其中，。
12 若，试证明：
(插值余项的应用)
解：以为插值条件，作线性插值多项式，有
其余项为
故 。
13 设求
