二次型、特征值/向量、奇异值、特征值、奇异值分解、奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用

一、二次型

通过矩阵来研究二次函数（方程），这就是线性代数中二次型的重点。

1 二次函数（方程）的特点

1.1 二次函数

最简单的一元二次函数就是：
在这里插入图片描述
给它增加一次项不会改变形状：

增加常数项就更不用说了，更不会改变形状。

1.2 二次方程

下面是一个二元二次方程：
在这里插入图片描述
给它增加一次项也不会改变形状，只是看上去有些伸缩：

1.3 小结

对于二次函数或者二次方程，二次部分是主要部分，往往研究二次这部分就够了。

2 通过矩阵来研究二次方程

因为二次函数（方程）的二次部分最重要，为了方便研究，我们把含有n 个变量的二次齐次函数：
$f(x1,x2,⋅,xn)=a11x12+a22x22+⋯+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+⋯+2an−1,nxn−1xnf(x_1,x_2,\cdot,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$

或者二次齐次方程称为二次型。

2.1 二次型矩阵

实际上我们可以通过矩阵来表示二次型：
在这里插入图片描述
更一般的：

可以写成更线代的形式：

所以有下面一一对应的关系：

在线代里面，就是通过一个对称矩阵，去研究某个二次型。

2.2 通过矩阵来研究有什么好处

2.2.1 圆锥曲线

我们来看下，这是一个圆：
在这里插入图片描述
我们来看改变一下二次型矩阵：

哈，原来椭圆和圆之间是线性关系呐（通过矩阵变换就可以从圆变为椭圆）。

继续：
在这里插入图片描述
咦，双曲线和圆之间也是线性关系（准确的说是仿射的）。

其实圆、椭圆、双曲线之间关系很紧密的，统称为圆锥曲线，都是圆锥体和平面的交线：
在这里插入图片描述

从上面动图可看出，一个平面在圆锥体上运动，可以得到圆、椭圆、双曲线，这也是它们之间具有线性关系的来源（平面的运动是线性的、或者是仿射的）。

2.2.2 规范化

再改变下矩阵：
在这里插入图片描述
这个椭圆看起来有点歪，不太好处理，我们来把它扶正，这就叫做规范化。

如果我们对矩阵有更深刻的认识，那么要把它扶正很简单。

往下读之前，请先参看我在如何理解特征值(https://www.zhihu.com/question/21874816/answer/181864044)下的回答。

首先，矩阵代表了运动，包含：

旋转
拉伸
投影

对于方阵，因为没有维度的改变，所以就没有投影这个运动了，只有：

旋转
拉伸

具体到上面的矩阵：
在这里插入图片描述
我把这个矩阵进行特征值分解：

注意我上面提到的正交很重要，为什么重要，参下。

对于二次型矩阵，都是对称矩阵，所以特征值分解总可以得到正交矩阵与对角矩阵。

特征值分解实际上就是把运动分解了：
在这里插入图片描述
那么我们只需要保留拉伸部分，就相当于把矩阵扶正（图中把各自图形的二次型矩阵标注出来了）：

所以，用二次型矩阵进行规范化是非常轻松的事情。

2.2.3 正定

正定是对二次函数有效的一个定义，对方程无效。

对于二次型函数，f(x)=x^TAx ：

f(x)>0,x\ne0,x\in\mathbb{R} ，则f 为正定二次型，A 为正定矩阵
f(x)\geq0,x\ne0,x\in\mathbb{R} ，则f 为半正定二次型，A 为半正定矩阵
f(x)<0,x\ne0,x\in\mathbb{R} ，则f 为负定二次型，A 为负定矩阵
f(x)\leq0,x\ne0,x\in\mathbb{R} ，则f 为半负定二次型，A 为半负定矩阵
以上皆不是，就叫做不定

从图像上看，这是正定：
在这里插入图片描述
半正定：

不定：

既然二次型用矩阵来表示了，那么我们能否通过矩阵来判断是否正定呢？

下面我分别给出了二次型的图形，以及对应的特征值矩阵的图形，你可以自己动手试试(3D窗口可以通过鼠标旋转，方便观察)，得出自己的结论：
在这里插入图片描述
起码，我们可以观察出这个结论，特征值都大于0，则为正定矩阵。

3 总结

在很多学科里，二次型都是主要研究对象，很多问题都可以转为二次型。线代作为一门数学工具，在二次型的研究中也发挥了很好的作用。

二、特征值、特征向量

0 矩阵的特征：特征值，特征向量，行列式，trace

矩阵的特征向量跟特征值的英文名字分别是 eigenvector 跟 eigenvalue，这俩概念非常非常有用，根据他们俩可以外延出很多有趣的功能。大部分同学可能脑子里想一下还能记得他们俩是怎么计算出来的，但是他们为什么可以代表一个矩阵的“特征”呢？除了这俩，相信大多数同学都不记得矩阵的行列式是个什么东西了，总之不太直观。相比较而言，矩阵的**迹（trace）**这个概念就比较直观，就是主对角线上的元素之和。本篇文章主要围绕这四个概念，讲一下这四个东西是如何刻画矩阵的特征跟他们之间的关联。

在这里插入图片描述
对比着俩图可以发现，对于一个固定的矩阵A，一般的向量被他transform之后都会改变方向，但是有一些特殊的向量，被A映射了之后还是保持它本来的方向，改变的只是它的模长。这些特殊向量的方向不变性表达出来就是这样的：
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什么样的矩阵会产生这种效果呢？对于二维矩阵来说，只要它的两个行向量共线就可以。重新理一下我们现在的逻辑线条：想让方程组（1）有非零解，必须让它的行向量共线，想让行向量共线，只需要A的行列式为零；二维矩阵的行列式等于平行四边形的面积，三维矩阵的行列式对应的是平行六面体的体积…更高维度上也可以延伸出同样的类似于“体积”的定义。

那么面积要怎么算呢？还是以二维平面为例，两个向量构成的平行四边形的面积可以由下面这个公式计算 (粉红的图片来自维基百科）
在这里插入图片描述

下面，高能的部分来了：

矩阵的trace等于特征值之和，也就是说矩阵的主对角线元素之和等于它的特征值之和。对于这个性质作者暂时也还没能想到一个直观的解释，证明的思路跟证明前面的那个行列式等于特征值之和类似，要从特征方程的表达式入手。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/25955676

0.1 方阵的特征值和特征向量

在这里插入图片描述

所以最后总结回答问题：每一个特征值，都对应一个eigenspace，那么A的所有特征空间(eigenspace)的维数加起来是不是恰好等于n？A的所有eigenspace会不会小于n？

答案：

对于可对角化的n维方阵矩阵A，当它有0特征值时，如果0特征值的eigenspace维数=a，那么它的所有非零特征值的eigenspace合起来的维数=n-a。A的所有eigenspace的维数是a+n-a=n，恰好等于n。
对于只能约当块对角化的n维方阵A，当它有0特征值时，如果0特征值的Jordan block有a个，也就是0特征值的eigenspace的维数为a，0特征值的a个Jordan block广义特征向量的维数加起来为b，其他各个非零特征值的eigenspace维数加起来为c，这c个Jordan block的广义特征空间的维数加起来为d，这时a+b+c+d=n，A的所有eigenspace的维数是a+c<n。

（下面的回答只涉及实数范围）。
关于特征值、特征向量可以讲的确实很多，我这里希望可以给大家建立一个直观的印象。
先给一个简短的回答，如果把矩阵看作是运动，对于运动而言，最重要的当然就是运动的速度和方向，那么（我后面会说明一下限制条件）：

特征值就是运动的速度
特征向量就是运动的方向

既然运动最重要的两方面都被描述了，特征值、特征向量自然可以称为运动（即矩阵）的特征。

注意，由于矩阵是数学概念，非常抽象，所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的，在现实不同的应用中有不同的指代。

下面是详细的回答，我会先从几何上简单讲解下特征值、特征向量的定义指的是什么，然后再来解释为什么特征值、特征向量会是运动的速度和方向。

1 几何意义

从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。
矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。
我们通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。这样做的意义在于，看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果（power），并根据所产生的每个特征向量（一般研究特征值最大的那几个）进行分类讨论与研究。

说明下，因为线性变换总是在各种基之间变来变去，所以我下面画图都会把作图所用的基和原点给画出来。
在 $i⃗,j⃗\vec{i_{}},\vec{j_{}}$ 下面有个 $v⃗\vec{v_{}}$ ：
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随便左乘一个矩阵A，图像看上去没有什么特殊的：

我调整下 $v⃗\vec{v_{}}$ 的方向，图像看上去有点特殊了：

可以观察到，调整后的 $v⃗\vec{v_{}}$ 和 $Av⃗A\vec{v_{}}$ 在同一根直线上，只是 $Av⃗A\vec{v_{}}$ 的长度相对 $v⃗\vec{v_{}}$ 的长度变长了。
此时，我们就称 $v⃗\vec{v_{}}$ 是A的特征向量，而 $Av⃗A\vec{v_{}}$ 的长度是 $v⃗\vec{v_{}}$ 的长度的 $λ\lambda$ 倍， $λ\lambda$ 就是特征值。
从而，特征值与特征向量的定义式就是这样的：
在这里插入图片描述
其实之前的A不止一个特征向量，还有一个特征向量：

容易从 $Av⃗A\vec{v_{}}$ 相对于 $v⃗\vec{v_{}}$ 是变长了还是缩短看出，这两个特征向量对应的特征 $λ\lambda$ 值，一个大于1，一个小于1。
从特征向量和特征值的定义式还可以看出，特征向量所在直线上的向量都是特征向量：
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你可以自己动手试试，可以改变 $v⃗\vec{v_{}}$ 的位置，以及矩阵A的值（特征空间会随着矩阵改变而改变）：

其中有些值构成的矩阵没有画出特征空间，可能是因为它的特征值、特征向量是复数，也可能是不存在。
下面就要说下，特征值、特征向量与运动的关系

2 运动的速度与方向

2.1 从调色谈起

我有一管不知道颜色的颜料，而且这管颜料有点特殊，我不能直接挤出来看颜色，只能通过调色来观察：
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为了分辨出它是什么颜色（记得它只能通过调色来辨别）：
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因为反复混合之后，这管颜料的特征就凸显了出来，所以我们判断，这管颜料应该是蓝色。
说这个干什么？矩阵也有类似的情况。

2.2 矩阵的混合

一般来说，矩阵我们可以看作某种运动，而二维向量可以看作平面上的一个点（或者说一个箭头）。对于点我们是可以观察的，但是运动我们是不能直接观察的。
就好像，跑步这个动作，我们不附加到具体的某个事物上是观察不到的，我们只能观察到：人跑步、猪跑步、老虎跑步、…，然后从中总结出跑步的特点。
就好像之前举的不能直接观察的颜料一样，要观察矩阵所代表的运动，需要把它附加到向量上才观察的出来：
在这里插入图片描述
似乎还看不出什么。但是如果我反复运用矩阵乘法的话：

就像之前颜料混合一样，反复运用矩阵乘法，矩阵所代表的运动的最明显的特征，即速度最大的方向，就由最大特征值对应的特征向量展现了出来。
至于别的特征值对应的是什么速度，我后面会解释，这里先跳过。
可以自己动手试试，我把\lambda值也标注出来了，可以关注下最大\lambda值对于运动的影响：
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顺便说下，对于复数的特征值、特征向量，在上面就没有画出特征空间，但可以观察到反复运用矩阵乘法的结果是围绕着原点在旋转。关于复数特征值和特征向量这里就不展开来说了。

2.3 烧一壶斐波那契的水

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就可以看出，这壶水的温度会沿着A的特征值最大的特征向量方向飞快增长，我估计要不了多久，在理想的情况下，温度就会突破百万度、千万度、亿万度，然后地球说不定就爆炸了。我们就说这个矩阵不稳定。
所以说，不要烧斐波那契的水。
实际上历史也是这样，欧拉在研究刚体的运动时发现，有一个方向最为重要，后来拉格朗日发现，哦，原来就是特征向量的方向。
我们知道特征值、特征向量有什么特点之后，下一步就想知道，为什么会这样？

3 特征值分解

下面讲解要用到矩阵乘法和相似矩阵的知识，我就不啰嗦了，可以参看：“从高斯消元法到矩阵乘法”（https://www.matongxue.com/madocs/755）、“如何理解矩阵乘法？”（https://www.matongxue.com/madocs/555/）以及“相似矩阵是什么？”（https://www.matongxue.com/madocs/491）
在这里插入图片描述
对于方阵而言，矩阵不会进行纬度的升降，所以矩阵代表的运动实际上只有两种：

旋转
拉伸

最后的运动结果就是这两种的合成。
我们再回头看下刚才的特征值分解，实际上把运动给分解开了：
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我们来看看在几何上的表现是什么，因此相似矩阵的讲解涉及到基的变换，所以大家注意观察基：
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如果旋转前的基不正交，旋转之后变为了标准基，那么实际会产生伸缩，所以之前说的正交很重要。

相当于，之前的旋转指明了拉伸的方向，所以我们理解了：

特征值就是拉伸的大小
特征向量指明了拉伸的方向

回到我们之前说的运动上去，特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向，而其余方向的运动就由特征向量方向的运动合成。所以最大的特征值对应的特征向量指明了运动速度的最大方向。
但是，重申一下，上面的推论有一个重要的条件，特征向量正交，这样变换后才能保证变换最大的方向在基方向。如果特征向量不正交就有可能不是变化最大的方向，比如：
在这里插入图片描述
所以我们在实际应用中，都要去找正交基。但是特征向量很可能不是正交的，那么我们就需要奇异值分解了，这里就不展开了。
大家可以再回头去操作一下之前的动图，看看不正交的情况下有什么不一样。
在这里插入图片描述
说明下，如果大家把这个文章和之前提到的我写的“相似矩阵”的文章参照来看的话，“相似矩阵”那篇文章里面我把图像的坐标系换了，所以看着图像没有变换（就好像直角坐标系到极坐标系下，图像是不会变换的）。而这里我把图像的坐标系给旋转、拉伸了，所以看着图像变换了（就好像换元，会导致图像变换）。这其实是看待矩阵乘法的两种视角，是等价的，但是显示到图像上就有所不同。

4 特征值、特征向量的应用

4.1 控制系统

之前的烧水系统是不稳定的。
$λ=1\lambda = 1$ 的，系统最终会趋于稳定：
在这里插入图片描述

4.2 图片压缩

比如说，有下面这么一副 $512×512512\times512$ 的图片（方阵才有特征值，所以找了张正方形的图）：
在这里插入图片描述
这个图片可以放到一个矩阵里面去，就是把每个像素的颜色值填入到一个 $512×512512\times512$ 的A矩阵中。
根据之前描述的有：
$A=PΛP−1A=P\Lambda P^{-1}$
其中， $Λ\Lambda$ 是对角阵，对角线上是从大到小排列的特征值。
我们在 $Λ\Lambda$ 中只保留前面50个的特征值（也就是最大的50个，其实也只占了所有特征值的百分之十），其它的都填0，重新计算矩阵后，恢复为下面这样的图像：
在这里插入图片描述
效果还可以，其实一两百个特征值之和可能就占了所有特征值和的百分之九十了，其他的特征值都可以丢弃了。

5 特征方程

在这里插入图片描述

三、奇异值

奇异值是矩阵里的概念，一般通过奇异值分解定理求得。设A为 $m×nm\times n$ 阶矩阵， $q = m i n (m, n)$ ， $A * A$ 的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。
奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，适用于信号处理和统计学等领域。

1. 特征值和奇异值

矩阵的特征值分解考虑的是一个到自身的映射矩阵，奇异值分解考虑的矩阵对应的是到别的空间的映射。结合此点，理解以下：

1.1 特征值和奇异值的区别

特征值是方阵所有，奇异值是所有矩阵。
特征值可正可负可为0，奇异值是非负的。
特征值对应着到自身空间的变换，及缩放尺度，而奇异值则表示着到另一个空间的变换。

下图特征值：
在这里插入图片描述
下图奇异值：

1.2 特征向量和奇异向量

对称矩阵的特征向量一般情况下被约束为单位2范数，而非对称阵矩阵的特征向量则有不同的2范数，奇异向量的2范数一般被约束为1.

下图特征值和特征向量等式：在这里插入图片描述
下图 $A−λA-\lambda$ 是奇异的； A的特征多项式或特征方程：

下图矩阵形式：

当假设X的各列线性独立的时候，则可以有下图常见的特征值分解形式：

下图矩阵形式：

其中U和V在实值的情况是正交阵，是复数的情况下是unitary的。

下图奇异值分解：
在这里插入图片描述

3，相似矩阵

相似矩阵保特征值
下图A和B是相似的：
在这里插入图片描述

2. 奇异值分解

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

2.1 回顾特征值和特征向量

在这里插入图片描述

2.2 SVD的定义

在这里插入图片描述

2.3 SVD计算举例

在这里插入图片描述

2.4 SVD的一些性质

在这里插入图片描述

2.5 SVD用于PCA

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2.6 SVD小结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。

四、特征值分解vs.奇异值分解

奇异值分解正是对线性变换这三种效应(旋转、缩放和投影)的一个析构。
在这里插入图片描述
而特征值分解其实是对旋转缩放两种效应的归并。（有投影效应的矩阵不是方阵，没有特征值）

总结

特征值分解和奇异值分解都是给一个矩阵(线性变换)找一组特殊的基，特征值分解找到了特征向量这组基，在这组基下该线性变换只有缩放效果。而奇异值分解则是找到另一组基，这组基下线性变换的旋转、缩放、投影三种功能独立地展示出来了。我感觉特征值分解其实是一种找特殊角度，让旋转效果不显露出来，所以并不是所有矩阵都能找到这样巧妙的角度。仅有缩放效果，表示、计算的时候都更方便，这样的基很多时候不再正交了，又限制了一些应用。

五、数据的中心化和标准化

简介：
意义：数据中心化和标准化在回归分析中是取消由于量纲不同、自身变异或者数值相差较大所引起的误差。
原理：数据标准化：是指数值减去均值，再除以标准差；
数据中心化：是指变量减去它的均值。
目的：通过中心化和标准化处理，得到均值为0，标准差为1的服从标准正态分布的数据。

在回归问题和一些机器学习算法中，以及训练神经网络的过程中，还有PCA等通常需要对原始数据进行中心化（Zero-centered或者Mean-subtraction）处理和标准化（Standardization或Normalization）处理。

目的：通过中心化和标准化处理，得到均值为0，标准差为1的服从标准正态分布的数据。计算过程由下式表示：
原因：在一些实际问题中，我们得到的样本数据都是多个维度的，即一个样本是用多个特征来表征的。很显然，这些特征的量纲和数值得量级都是不一样的，而通过标准化处理，可以使得不同的特征具有相同的尺度（Scale）。这样，在学习参数的时候，不同特征对参数的影响程度就一样了。简言之，当原始数据不同维度上的特征的尺度（单位）不一致时，需要标准化步骤对数据进行预处理。
下图是二维的示例：
在这里插入图片描述
左图表示的是原始数据
中间的是中心化后的数据，可以看出就是一个平移的过程，平移后中心点是（0，0）。同时中心化后的数据对向量也容易描述，因为是以原点为基准的。
右图将中心化后的数据除以标准差，得到为标准化的数据，可以看出每个维度上的尺度是一致的（红色线段的长度表示尺度），而没有处理之前的数据是不同的尺度标准。原始数据经过数据标准化处理后，各指标处于同一数量级，适合进行综合对比评价。

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二次型 https://www.matongxue.com/madocs/271/
特征值 https://www.matongxue.com/madocs/228
特征方程 http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/ch0501.html
奇异值 https://www.jianshu.com/p/96572985c8ab
特征值分解和奇异值分解 https://www.zhihu.com/question/19666954/answer/54788626
数据的中心化和标准化 https://blog.csdn.net/lilong117194/article/details/78561013